Главная > Математика > Интегральные инварианты
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Приложения к теории вихрей.

20. Совокупности траекторий, которые мы рассматривали до сих пор, являлись лишь воображаемыми объектами. Имеется, однако, случай, когда подобные совокупности существуют реально. Это — случай совершенной жидкости, находящейся под Действием сил, имеющих лиловую функцию . В гидродинамике выводятся следующие уравнения;

здесь символами обозначены компоненты ускорения частицы, занимающей в момент времени положение обозначают, соответственно, давление и плотность в этой точке.

Будем считать, что ряд связаны данным заранее соотношением, что наверное имеет место, если процесс протекает изотермически.

Рассматривая некоторое определенное движение жидкости, мы можем считать данной функцией переменных х, полагая

мы видим, что каждая частица ведет себя как материальная точка массы 1, помещенная в силовое поле, зависящее от силовой функции

Здесь мы встречаемся с конкретным осуществлением бесконечной совокупности траекторий подвижной точки, подверженной действию данных сил. Заметим, что член — силовой функции обусловлен действием частиц, окружающих рассматриваемую частицу.

21. Траектория каждой частицы может рассматриваться как частное решение системы диференциальных уравнений:

значит, если рассматривать непрерывную замкнутую последовательность частиц жидкости (взятых, каждая, в какой-нибудь момент времени), то интеграл

взятый вдоль этой последовательности, не будет менять значения при смещении каждой частицы по ее траектории. В выражении (4) положено

есть энергия (на единицу массы) жидкости; эта энергия складывается из кинетической энергии потенциальной энергии - U и внутренней гидродинамической энергии

В частности, если взять замкнутую последовательность частиц, рассматриваемых в некоторый — один и тот же для всех данных частиц — момент времени то интеграл будет сохранять одно и то же значение, если его брать вдоль линии, образованной теми же частицами в любой другой момент времени. Это — классическая теорема сохранения циркуляции (интеграл обычно называют циркуляцией).

22. Взглянем теперь на эти вещи с несколько иной точки зрения. Попрежнему будем рассматривать некоторое определенное движение жидкой массы; при этом компоненты скорости будут определенными функциями переменных а траектории различных частиц можно рассматривать как решения системы диференциальных уравнений:

где предполагается, что являются известными функциями от Интеграл

будет, очевидно, относительным интегральным инвариантом для этой новой системы диференциальных уравнений. Преобразуя его в двойной интеграл, мы получим абсолютный интегральный инвариант системы (6).

Составляя выражение получим:

Правая часть линейна относительно следующих шести выражений:

Простое вычисление, являющееся, по существу, лишь применением формулы Стокса, дает для коэфициентов первых трех членов следующие выражения:

Это — компоненты вихря. Чтобы вычислить остальные три козфициента, воспользуемся следующим замечанием. Так как выражение со инвариантно в силу уравнений (6), то уравнения, полученные приравниванием нулю коэфициентов при должны быть следствиями уравнений (6). Итак, положим

Уравнения, о которых шла речь, суть:

Запйсав, что они являются следствиями уравнений (6), получим:

Следовательно, искомый двумерный интегральный инвариант имеет

Будучи распространен на площадь, образованную частицами, взятыми в один и тот же момент времени этот интеграл дает поток вихря сквозь эту площадь. Мы приходим, таким образом, к теореме сохранения потока вихря сквозь площадку жидкости.

23. Выражение можно было бы вычислить непосредственно. В частности, коэфициент при очевидно, имеет вид

записываем, что он равен выражению, найденному выше,

и получаем уравнение

представляющее собою не что иное, как первое уравнение гидродинамики-, действительно, левая часть представляет собою развернутое выражение для

Этот результат напоминает нам, что интеграл инвариантен по отношению к уравнениям (6) лишь в том случае, если представляют собою компоненты, скорости частицы совершенной жидкости, находящейся под действием сил, имеющих силовую функцию, или, иными словами, если существует потенциал ускорений.

24. Уравнения (7), которые также могут быть записаны в виде

являются следствием системы (6), но не эквивалентны ей; иными словами, уравнения (6) траекторий не являются единственными, допускающими интегральный инвариант . В частности, этим свойством обладают уравнения

очевидным следствием которкх является система (7). Решениями системы (9) определяются кривые, называемые линиями вихря. Тот факт, что диференциальные уравнения траекторий и диференциальные уравнения вихревых линий допускают один и тот же интегральный инвариант, приведет нас к основным теоремам теории вихрей.

Действительно, элементарное смещение [в четырехмерном мире в направлении вихревой линии может быть характеризовано тем, что билинейная форма со равняется нулю, каково бы ни было смещение это немедленно вытекает из уравнений (7). Установив это, рассмотрим в некоторый данный момент вихревую линию ; составляющие ее частицы образуют в некоторый другой момент кривую ; докажем, что является вихревой линией для момента времени . В самом деле, пусть будет элементарное смещение вдоль рассмотрим наряду с ним произвола ное смещение Сместим три состояния

вдоль соответствующих им траекторий, первые два до момента времени последний до момента мы получим двумерный элемент, для которого служит смещением вдоль вихревой линии ; следовательно, значение формы равно нулю; следовательно, она равна нулю и для первоначального элемента, а это и значит, что является вихревой линией. Это — знаменитая теорема Гельмгольца.

25. Рассмотрим в момент времени вихревую трубку и две замкнутые кривые и ее охватывающие. Циркуляция вдоль обеих этих замкнутых кривых одинакова, потому что является интегральным инвариантом по отношению к диференциальным уравнениям (9) вихревых линий. В последующий момент времени V вихревая трубка займет другое положение в пространстве, но циркуляция вдоль любой замкнутой линии, окружающей новую трубку, все же не изменится, потому что является интегральным инвариантом и для диференциальных уравнений траекторий. Мы приходим к понятию, которое в гидродинамике называют моментом, или напряжением вихревой трубки, к величине, сохраняющейся при вихревом движении жидкости. Это свойство является лишь частным следствием инвариантности интеграла

как относительно диференциальных уравнений траекторий, так и относительно диференциальных уравнений вихревых линий.

Впрочем, мы получим все эти результаты как частный случай одной весьма общей теоремы о диференциальных формах, инвариантных одновременно относительно нескольких систем диференциальных уравнений.

Ясно, что во всем предшествующем существенно предположение о том, что не равны нулю одновременно, т. е. что движение жидкости является вихревым.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление