Главная > Математика > Интегральные инварианты
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Приложение к уравнениям в частных производных первого порядка.

144. Проблема интегрирования характеристической системы уравнения Пфаффа находит себе непосредственное приложение в теории уравнений в частных производных первого порядка. Действительно, интегрировать уравнение

или, употребляя классическую систему обозначений,

— это значит определить функций от независимых переменных удовлетворяющих уравнению (4) и уравнению Пфаффа:

Если представим себе, что один из аргументов выражен с помощью уравнения (4) через других, то пфаффово уравнение (5) будет содержать только переменных, а потому его характеристическая система необходимобудет нечетного ранга Следовательно, если учесть уравнение (4), то пфаффово уравнение (5) может быть приведено к каноническому виду

где суть независимых функций; это первые интегралы характеристической системы уравнения (5).

Предположим теперь, что мы умеем привести уравнение (5) к каноническому, виду (6). Интегрирование уравнения (4) сводится, в сущности, к определению независимых соотношений [в число которых входит данное соотношение (4)] между переменными следствием который было бы уравнение (5); чтобы достигнуть этого, достаточно установить между независимых соотношений, следствием которых было бы уравнение (6). Этого можно добиться достаточно общим приемом, положив

где произвольная функция аргументов. Еще более общий прием состоит в том, что между устанавливается некоторое число независимых соотношений

и к ним присоединяются соотношения, получаемые в результате исключения однородных параметров из уравнений:

145. Уравнения

определяют одномерные многообразия, именно, характеристические многообразия уравнения Пфаффа (5) [относительно которого предположено, что переменные связаны соотношением (4)]. Их называют характеристиками уравнения в частных производных (4). Сразу видно, что любая интегральная поверхность представляет собой геометрическое место характеристик.

Нетрудно составить диференциальные уравнения характеристик; в самом деле, они представляют собой уравнения системы, ассоциированной с со, причем предполагается, что диференциалы переменных связаны соотношением кроме того, соотношением Значит, их можно получить присоединяя к уравнению (5) уравнения

которые могут быть записаны в виде

Это — классические уравнения характеристик.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление