Главная > Математика > Интегральные инварианты
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Обобщение формул Пуассона-Якоби.

131. Предположим, что форма первого типа. Пусть - какой-нибудь первый интеграл ее характеристической системы; форма инвариантная Форма максимального порядка Значит, можно положить

где конечное выражение, линейное по отношению к частным производным первого порядка функции Это выражение либо равнопостоянной, либо является первым интегралом характеристической системы формы .

Пусть теперь два первых интеграла характеристической системы формы . Определим с помощью сооткошения

выражение Это выражение опять является либо постоянной, либо первым интегралом.

Если форма приведенная,

то будем иметь:

Отсюда без труда можно вывести важные тождества

132. Чтобы дать прямое доказательство этих тождеств, заметим, что форма представляет собою линейную комбинацию линейно независимых форм, с помощью которых может быть выражена это следует из того, что

Отсюда непосредственно выводится тождество вида

а внешнее умножение на дает Значит, имеем

Тождество (8) п. 68, приложенное к трем линейным формам

дет

откуда, путем внешнего умножения на получаем

Теперь внешнее диференцирование тождества (1) дает

т. е. первое тождество, которое нам нужно было доказать:

Внешнее диференцирование тождества (2) даст

но, с другой стороны, внешнее умножение (1) на дает

из этой последней формулы получаем:

а затем из предшествующей выводим то соотношение, которое нужно было доказать:

133. Предположим теперь, что форма — второго типа. Пусть и -два первых интеграла характеристических уравнений формы как и выше, определим выражения формулами

Если —приведенная форма:

то

Без труда установим справедливость следующих формул:

вторая из них — не что иное, как тождество Якоби, потому что -первые интегралы характеристических уравнений формы .

Чтобы доказать непосредственно первое тождество, применим тождество (8) п. 68 к трем линейным формам соотношения

приводят к тождеству

которое, будучи продиференцировано внешним образом, дает

заменяя каждый член его значением и упрощая, получим тождество, которое мы хотели доказать.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление