Главная > Математика > Интегральные инварианты
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Скобки Пуассона и тождество Якоби.

123. Пусть будет рангом внешней производной и пусть два первых интеграла ее характеристической системы. Две диференциальные формы

будут инвариантами наивысшей возможной степени значит, они отличаются только множителем, и этот множитель является первым интегралом. Положим

или

Определенное таким образом выражение носит наименование скобки Пуассона; это билинейная кососимметрическая форма от частных производных функций

Скобка от двух первых интегралов сама является первым интегралом.

Эта теорема была установлена Пуассоном для случая канонических уравнений; в общем случае ее значение показал Якоби.

Прежде чем перейти к приложениям этой теоремы, сделаем несколько замечаний.

Условие выражает, что ранг равен в этом случае говорят, что интегралы находятся в инволюции.

Если это условие не выполнено, то формула, определяющая показывает, что форма

имеет ранг действительно, степень этой формы равна нулю:

Заметим еще, что если привести к нормальному виду

и если положить

то получим

Заметим, наконец, на основании результатов п. 119, что всегда можно предполагать полными диференциалами. Простое вычисление приведет к следующему тождеству, полученному впервые Якоби

которое прилагается к любым трем первым интегралам Впрочем, справедливость его может быть установлена без каких бы то ни было предположений относительно форм Она основывается на тождестве

которое не отличается от тождества (8), доказанного в п. 68.

Диференцируя его внешним образом и замечая, что внешняя производная правой части равна нулю, получим

а это и есть тождество Якоби.

124. Способ интегрирования, указанный в начале главы, может быть изложен короче, если использовать скобки Пауссона. Пусть

— уравнение, выражающее, что -первый интеграл. Ищем сначала частное решение этого уравнения; затем ищем частное решение системы

затем частное решение системы

и т. д. до частного решения системы

В случае канонических уравнений динамики

соответствующих инвариантной форме

уравнение в частных производных, дающее первые интегвалы данной системы, имеет вид

Что касается скобки Пуассона двух первых интегралов, то она определяется равенством

приравняв в обеих частях равенства члены, содержащие

получим

Распространяя теперь понятие скобки на какие угодно две функции переменных мы сможем записать уравнение в частных производных, определяющее первые интегралы, так:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление