Главная > Математика > Интегральные инварианты
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава II. ДВУМЕРНЫЙ ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ИНВАРИАНТ ДИНАМИКИ.

Построение двумерного интегрального инварианта динамики.

16. Мы видели, что элементарное действие Гамильтона получается из выражения

если в нем положить

Замечательно, что траектории материальной системы осуществляют экстремум интеграла

если предположить просто, что представляют некоторые функции подчиненные единственному условию: принимают на концах интервала заранее данные значения. Значит, мы уже не предполагаем, как в принципе Гамильтона, что суть производные от по времени. Можно даже сделать более общее предположение, что являются функциями одного и того же параметра и, изменяющегося от до 1, причем величины принимают заданные начальные и конечные значения. Вычисление легко дает:

Часть, полностью проинтегрированная, по предположению равна нулю; уравнения экстремалей получатся, если а подинтегральном выражении приравнять нулю коэфициенты при

Это вычисление было сделано в п. 11; оно дало нам как раз уравнения движения в канонической форме.

17. Выражение

которое мы дважды встречали, является линейным относительно двух рядов диференциалов; его можно записать в более простой форме

допуская, что два символа диференцирования переместительны

между собою. Это выражение, которое мы обозначим обладает тем свойством, что оно равняется нулю всякий раз, когда символ определяет в пространстве состояний элементарное перемещение в направлении траектории, тогда как символ определяет произвольное элементарное перемещение. Впрочем, выражая это свойство, мы и получили соотношения между определяющие диференциальные уравнения траекторий или, с другой точки зрения, диференциальные уравнения, допускающие интегральный инвариант

Рассмотрим теперь более общий случай: пусть имеются два любых элементарных перемещения, определяемых двумя символами диференцирования попытаемся найти значение билинейной формы Для этого представим себе непрерывную двумерную совокупность состояний; такую совокупность можно осуществить, взяв как функции двух параметров каждое состояние совокупности может быть изображено на плоскости точкой с координатами а вся совокупность изображается некоторой площадью. Символы будут соответствовать приращениям одного а и одного соответственно. Рассмотрим, далее, в пространстве состояний четыре состояния соответствующие значениям параметров

и составим интеграл взятый по замкнутому контуру

Очевидно, имеем

и, следовательно,

18. Билинейная форма которая в итоге зависит от произвольного состояния и от двух состояний бесконечно близких, дает, на основании предыдущего, значение интеграла взятого по замкнутому контуру; поэтому она является инвариантом для системы диференциальных уравнений траекторий, в том смысле, что она не меняет значения при перемещении каждого из состояний вдоль соответствующей траектории. Эта форма является также элементом двойного интеграла: если, например, рассматривать как координаты точки на плоскости (зависящие от двух параметров то выражение даст элемент площади на этой плоскости,

отнесенный к криволинейным координатам то, что обычно записывают так:

Это приводит нас к новому интегральному инварианту:

Этот двойной интеграл, распространенный на некоторую двумерную площадь в пространстве состояний, не меняется, если каждое из состояний этой площади перемещать вдоль соответствующей траектории. Впрочем, этот двойной интеграл, в силу обобщенной формулы Стокса, можно получить из криволинейного интеграла

взятого по контуру, ограничивающему площадь.

В концепции Пуанкаре рассматриваются лишь такие области интегрирования, которые образованы одновременными состояниями. При этом полученный только что результат можно сформулировать следующим образом:

Если дано двумерное многообразие траекторий и на каждой траектории состояние, соответствующее определенному моменту времени то двойной интеграл

распространенный по всем этим состояниям, не зависит от

Очевидно, эта теорема выражает только частный вид доказанного выше свойства.

19. Пуанкаре называет двумерный интегральный инвариант абсолютным, в противоположность относительному инварианту . Это значит, что двойной интеграл обладает свойством инвариантности независимо от того, будет ли область интегрирования замкнутой или нет, тогда как интеграл является инвариантом лишь в том случае, если контур интегрирования замкнут.

Интеграл тождественно равняется интегралу взятому по замкнутому контуру; поэтому можно утверждать, что диференциальные уравнения движения являются единственными, допускающими интегральный инвариант Инвариантность интеграла является, таким образом, лишь новой аналитической трактовкой обобщенного принципа сохранения количества движения и энергии.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление