Главная > Математика > Интегральные инварианты
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава X. ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ ПФАФФА.

Теорема Фробениуса (Frobenius).

102. Система, состоящая из уравнений Пфаффа:

называется вполне интегрируемой, если ее можно привести к виду

Если это имеет место, то каждая из форм выражается линейно через следовательно, ее производная обращается в нуль в силу уравнений (2) или, что та же, (1).

Чтобы доказать обратное предложение, заметим прежде всего, что установленное нами сейчас свойство не зависит ни от выбора переменных, ни от вида левых частей уравнений. Иными словами, если напишем уравнения системы в виде:

то производные тоже будут обращаться в нуль — в силу, уравнений системы. Действительно, имеем

а каждый член правой части обращается в нуль, если учесть указанные условия.

Заметив это, предположим, что обратное предложение доказано, для переменных, и докажем его для переменных. Так как формы обращаются в нуль при учете уравнений (1), то они подавно обратятся в нуль, если положить еще Следовательно, если рассматривать как фиксированный параметр, то система (1), согласно предположению, сводится к виду

где система независимых функций от которые могут также содержать параметр

Если теперь не считать более постоянным, то система, очевидно, сведется к виду

где функции от например, от

Далее,

т. е., учитывая уравнения (3), имеем

Следовательно, из нашего предположения — что внешние производные обращаются в нуль в силу уравнений системы — вытекает, что коэфициенты зависят только от Но тогда уравнения (3) представляют собою систему обыкновенных диференциальных уравнений и могут быть приведены к виду

где буквами обозначены независимых первых интегралов.

Таким образом, доказана следующая теорема:

Для того, чтобы система Пфаффа была вполне интегрируемой, необходимо и достаточно, чтобы внешние производные от левых частей ее уравнений обращались все в нуль в силу самих этих уравнений.

103. Предыдущая теорема, принадлежащая Фробениусу, позволяет выразить условия, необходимые и достаточные для полной интегрируемости данной системы, следующими соотношениями:

Рассмотрим в качестве примера пфаффово уравнение с тремя переменными:

Условие полной интегрируемости имеет вид:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление