Главная > Математика > Интегральные инварианты
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Построение интегральных инвариантов.

82. Ясно, что внешнее произведение двух инвариантных внешних форм само будет инвариантной формой.

В силу этого, знание одной инвариантной внешней формы позволяет найти целый ряд инвариантных форм, именно и все формы, которые получаются путем внешнего умножения из форм

Предположим сначала, что представляет собой абсолютную инвариантную форму четной степени. Тогда получим два ряда абсолютных инвариантных форм:

производная от формы первого ряда представляет собой форму второго ряда, производная от любой формы второго ряда равняется нулю.

Далее, предположим, что абсолютная инвариантная форма нечетной степени. Получим два ряда:

проиэгводная от формы второго ряда дает форму первого ряда, производная любой формы первого ряда равна нулю.

Предположим теперь, что имеется относительный интегральный инвариант и допустим, что степень четная; отсюда можно вывести только один новый инвариант — абсолютный инвариант

Если, напротив, степень нечетная, то получится ряд относительных интегральных инвариантов и ряд абсолютных интегральных инвариантов Впрочем, относительный инвариант сводится путем диференцирования (внешнего) к абсолютному инварианту .

Так обстоит дело, например, с относительным инвариантом динамики

относительные интегральные инварианты, которые отсюда выводятся, имеют вид

а абсолютные:

Существует, стало быть, инвариант (абсолютный, или относительный) любой данной степени, меньшей или равной

83. Не следует думать, что новые интегральные инварианты, существование которых мы сейчас отметили, являются единственными, которые могут быть выведены (без интегрирования), исходя из данного инварианта. Предположим, например, что известна инвариантная форма Приводимая к виду:

где шесть независимых линейных (пфаффовых) форм. Введем шесть вспомогательных переменных и построим квадратичную форму

Ясно, что если считать переменными, ковариантными переменным со, то будет ковариантна Запишем, что эта форма имеет ранг 2; получим условия:

имеется два возможных решения: либо

либо

Отсюда следует существование двух систем, каждая из трех ковариантных пфаффовых уравнений, именно:

Значит, формы тоже ковариантны. Первая получается, если связать переменные, от которых зависит форма уравнениями второй ковариантной системы. Вторая - если их связать уравнениями первой ковариантной системы.

Предположим теперь, что выражена с помощью первых интегралов системы уравнений, для которых она инвариантна, их диференциалов. Построение двух ковариантных систем осуществляется здесь

так же легко, как и в предыдущем случае приведенной формы; и каждая из этих систем будет содержать только первые интегралы и их диференциалы; то же можно сказать о формах значит, эти формы тоже инвариантны.

Таким образом, существование интегрального инварианта влечет за собою существование каждого из интегральных инвариантов

С помощью аналогичного рассуждения убедимся, что существование инвариантной формы степени приводимой к сумме одночленных форм, таких, что множителей, входящих в эти формы, линейно независимы, — влечет за собою инвариантность каждой из этих одночленных форм.

При теорема неверна.

84. В некоторых случаях. существование инвариантной формы влечет за собой существование инвариантного уравнения. Рассмотрим, например, форму

где пять независимых пфаффовых форм. Единственным линейным соотношением между этими формами, в силу которого обращается в нуль, будет, очевидно,

Значит, это уравнение инвариантно: левая часть его может быть выражена с помощью первых интегралов диференциальных уравнений, допускающих в качестве инвариантной формы.

В общем случае, если инвариантная форма и если ассоциированная с система не совпадает с ее характеристической системой, то эта ассоциированная система будет инвариантна.

Эти рассуждения можно видоизменять различным образом.

85. Рассмотрим еще случай двух инвариантных квадратичных форм имеющих одну и ту же ассоциированную систему; пусть ранг каждой из них равен Уравнение степени относительно Я

указывающее, что ранг формы меньше имеет, очевидно, инвариантный смысл. Значения Я, удовлетворяющие этому уравнению, являются, следовательно, первыми интегралами системы диференциальных уравнений, допускающей в качестве инвариантных форм. Можно доказать, что в общем случае могут быть приведены к виду

Каждая из одночленных инвариантна.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление