Главная > Математика > Интегральные инварианты
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава VII. ВНЕШНИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ИХ ПРОИЗВОДНЫЕ ФОРМЫ.

Билинейный ковариант пфаффовой формы.

70. Рассмотрим теперь линейную диференциальную форму (форму Пфаффа).

Исходя из этой формы, можно построить билинейную кососимметрическую форму с двумя рядами диференциалов,именно

Предположим, что оба символа диференцирования переместительны; т. е. что

правой части равенства, носящей название билинейного коварианта формы , можно поставить в соответствие внешнюю квадратичную диференциальную форму, которая, если воспользоваться символикой, введенной выше, запишется так:

эту форму будем называть внешней производной формы .

Эта операция взятия производной не зависит от выбора независимых переменных; кроме того, эта операция позволяет перейти от криволинейного интеграла, взятого по замкнутому контуру, к двойному интегралу, распространенному на площадь, ограниченную этим контуром. Например, случае трех переменных если положим

то получим

формулу Стокса можем, очевидно, записать так:

через обозначена площадь, ограниченная контуром С.

Для того чтобы со тождественно равнялось нулю, необходимо и достаточно, чтобы со было полным диференциалом.

Замечание. Переместительность двух символов диференцирования должна иметь место, когда диференцирования прилагаются к совершенно произвольной функции у независимых переменных; иначе определенная только что операция не будет обладать свойством ковариантности. В этом нетрудно убедиться. Если положить

то будет полным диференциалом и, следовательно,

то есть

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление