Главная > Обработка сигналов, моделирование > Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Приложение 9.1. Геометрия корреляции и регрессии

Используем здесь несколько измененные обозначения. Скалярные случайные величины будем обозначать большими буквами Соответствующими малыми буквами обозначим соответствующие выборочные значения случайных величин. Имеются три типа коэффициентов корреляции, используемых в анализе данных, а именно коэффициент простой корреляции, коэффициент частной корреляции и коэффициент множественной корреляции. Коэффициент простой, или обычной, корреляции рассматривается только между парами случайных величин и обозначается через для пары Коэффициент частной корреляции также определен для пары величин при других заданных величинах Коэффициент множественной корреляции определен для любой величины и множества других величин Все эти величины можно определить в геометрических терминах (Воннакотт, Воннакотт, 1970; Величины имеют нулевое среднее.

Предположим, имеется наблюдений независимых одинаково распределенных величин Пусть

Пусть все наблюдения нормированы таким образом, что сумма квадратов компонент равна единице. Пусть -мерные векторы -мерного евклидова пространства будут случайными величинами и пусть скалярное произведение

Пусть у — ортогональная проекция у на пространство, порожденное — ортогональная проекция у на пространство, порожденное ортогональная проекция на пространство, порожденное Пусть коэффициент корреляции между коэффициент корреляции между Легко показать, что

Рис. П9.1 дает геометрическую интерпретацию различных коэффициентов корреляции для Пусть векторы направлены вдоль прямых и соответственно Тогда ортогональная проекция на ортогональная проекция у на плоскость ортогональная

проекция на наконец, Пусть параллельно Тогда

Дадим также геометрическую интерпретацию критерия проверки приемлемости регрессионного слагаемого. Предположим, нужно проверить приемлемость в качестве независимой переменной регрессии для у, причем уже выбраны в качестве независимых переменных. Для случая из на рис. П9.1 имеем

где подходящая константа. В общем случае необъясненная дисперсия после построения регрессии на равна необъясненной дисперсии после построения регрессии на плюс дисперсия, объясняемая изменениями

Рис. П9.1.

Можно объяснить критерий в терминах коэффициента частной корреляции Пусть Тогда по построению тестовая статистика равна

Комментарии

Литература по обоснованию многомерных моделей не так обширна, как для одномерных, и подробные эмпирические исследования достаточно редки. Кенуй (1957) дает подробный анализ моделирования сельскохозяйственных данных. Идею методов, используемых в эконометрике для проверки моделей, можно почерпнуть у Клейна, Эванса (1968). Проблема причинности обсуждается многими авторами, включая Волда (1954), Гренджер (1963), Симса (1972), Кейнса, Чена (1974) и др. Однако все эти работы предполагают справедливость модели с постоянными коэффициентами, которая не всегда гарантирована.

Задачи

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление