Главная > Обработка сигналов, моделирование > Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7b.2. Численные методы определения дисперсий оценок.

7b.2.1. Условные ковариации оценки.

Напомним, что условная ковариационная матрица оценки при заданной совокупности наблюдений равна где

Ввиду замечаний предыдущего пункта можно пренебречь вторым членом в (7b.2.1). Тогда матрицу можно приближенно определить из заменяя на Отметим, что первый член в вычисляется на каждой итерации алгоритма, описанного в п. 7b.1. Само по себе определение дисперсии оценки не требует каких-либо дополнительных усилий при вычислениях.

7.b.2.2. Безусловные ковариации оценки ...

Напомним, что ковариации оценки составляют матрицу определейную равенством Для вычисления матрицы можно применить три метода. Первый метод заключается в непосредственном моделировании, т. е. на вычислительной машине моделируется разностное уравнение для и на основе большого числа выборочных значений определяется выборочное среднее для Более того, можно несколько раз промоделировать одно и то же уравнение, используя различные последовательности с одинаковыми статистическими свойствами, усреднить выборочные средние, полученные по этим разным выборочным

последовательностям, и отсюда вычислить с любой требуемой степенью точности.

Во втором методе можно получить линейное разностное уравнение для матрицы Это разностное уравнение можно решать численными методами, а его установившееся решение дает требуемую функцию 540°, Мы проиллюстрируем этот метод на примере. Вариант этого метода можно найти в статье Острёма (1967).

Пример Пусть уравнение системы имеет вид

где обычная гауссова -последовательность. Уравнение для имеет вид

Положим

Из можно получить разностные уравнения для

у которых в качестве возмущения служит последовательность с зависимыми членами. Вводя координаты состояния и используя можно переписать так, чтобы новая система уравнений имела в качестве возмущения последовательность с независимыми членами. Пусть

где Тогда удовлетворяет векторному уравнению

с матрицами

Обозначим

Тогда уравнение дает

Можно решить уравнение численным путем или аналитически и получить

где

Замечание. Эффект сокращения полюсов и нулей. Отметим, что если из примера 7b.1 очень близки друг к другу, т. е. если система имеет почти совпадающие полюс и нуль, то дисперсия оценки будет очень велика. Пусть, например,

Отсюда, даже если имеются наблюдений, дисперсия оценки для ( будет очень велика по сравнению с величиной -Таким образом, по одним лишь оценкам мы не сможем сказать, отличаются ли друг от друга истинные значения Это общая черта всех систем, у которых близки друг к другу даже один полюс и один нуль. Наилучший путь исследования такой системы заключается в том, чтобы начать с модели более низкого порядка. Обычно такая подстройка модели более низкого порядка — это все, что требуется для целей управления и прогноза.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление