Главная > Обработка сигналов, моделирование > Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2j. Модели с дробным шумом

2j.1. Описание

Корреляционная функция R(k) для сдвига к, отвечающая слабостационарному ARMA-уравнению, является либо экспоненциально убывающей функцией к, либо представляет собой сумму таких функций. При моделировании таких процессов, как турбулентность в атмосфере, нужно рассматривать модели, в которых корреляционная функция убывает медленнее, чем экспонента. Мы подробно изучим некоторые процессы с корреляционной функцией, убывающей как т. е. значительно медленнее, чем экспонента. Интерес к этому классу процессов объясняется тем, что многие протекающие в природе процессы, такие как речные потоки, лучше описываются такими моделями, а не ARMA-моделями. В гл. X мы проведем непосредственное сравнение такой модели с обычной ARMA-моделью при описании речного потока. Здесь мы очертим теорию таких процессов (следуя работам Яглома, 1967; Мандельброта, Несса, 1968; Мандельброта, Уоллиса, 1969а).

Рассмотрим так называемый процесс дробного шума у, обладающий бесконечным представлением скользящего среднего:

где гауссовский дискретный белый шум с нулевым средним, т. е. последовательность независимых одинаково распределенных величин с нормальным распределением Заметим, что последовательность коэффициентов усиления расходится, но последовательность сходится. Следовательно, можно показать, что процесс из существует в среднеквадратическом смысле. Легко найти выражение для его вторых моментов:

Точные алгебраические выражения для сумм справа в получить трудно, но видно, что функция асимптотически убывает значительно медленнее, чем апри любом положительном а.

Когда нужно моделировать дробный шум на бесконечные ряды заменяются конечными так, что функция соответствующей модели также убывает медленнее, чем

Дадим краткое объяснение термина «дробный шум». Рассмотрим частичную сумму Если описывается моделью дробного шума в то асимптотически подчиняется следующему уравнению, как показано в приложении 2.1:

Если в параметр то был бы обычным броуновским процессом и процесс у, полученный из него вычислением первых разностей (дифференцированием в непрерывном случае), является процессом дискретного белого шума. Если в то соответствующий процесс называется дробным броуновским процессом, поскольку он сходен с процессом броуновского движения, характеризуемым дробью отличной от 0,5. Процесс полученный из называется процессом дробного белого шума, так как он определяется дробью

Рассмотрим теперь -характеристики модели дробного шума. С помощью громоздких вычислений можно сделать вывод, что т. е. математическое ожидание разброса в измененном масштабе, ведет себя при больших как Следовательно, соответствующий наклон графика в зависимости от на логарифмической бумаге будет равен величине отличной от 0,5. Отсюда следует, что если наклон эмпирической характеристики отличен от 0,5, то, возможно, соответствующий процесс является процессом дробного шума с параметром Однако окончательный вывод о том, которой из двух или моделей описывается процесс, должен основываться на сравнении двух моделей с подобранными параметрами. Такое сраввеве описано в гл. обсуждении соответствия FN-модели данным о речном потоке. Когда мы имеем дело со сравнительно небольшим множеством наблюдений, мы можем обычно построить удовлетворительную модель стохастических разностных уравнений, порождаемых процессом белого шума. Возможность выбора FN-модели появляется лишь тогда, когда имеется относительно большой объем наблюдений.

2j.2. Предсказание FN-процессов.

Прогноз процесса на 1 шаг вперед, основанный на информации до момента обозначим через и определим формулой

где детерминированная функция. Обычно функцию выбирают так, чтобы минимизировать среднеквадратическую ошибку предсказания

Оптимальный алгоритм прогноза, минимизирующий среднеквадратическую ошибку, называется алгоритмом прогноза в смысле метода наименьших квадратов по данным

и обозначается Поскольку FN-процесс является стационарным процессом скользящего среднего, то теоретической среднеквадратической ошибкой будет дисперсия шума Чтобы получить явную формулу алгоритма прогноза метода наименьших квадратов поступим следующим образом. Так как FN-процесс нормален, является линейной комбинацией наблюдений Формула для величины являющейся аппроксимацией может быть получена дискретизацией формулы алгоритма прогноза метода наименьших квадратов для непрерывного по времени процесса дробного шума (Яглом, 1967):

где

Можно упростить чтобы показать простую зависимость от предыдущих наблюдений

где

Формула не очень полезна, так как необходимо знание на полубесконечном интервале в то время как на практике имеется лишь конечное число наблюдений.

Однако формула показывает, что зависимость от наблюдений в отдаленном прошлом мала. В справедливости этого вывода можно убедиться с помощью установив, что

Уравнение означает, что можно найти алгоритмы прогноза, которые оперируют с конечным числом наблюдений и дают среднеквадратическую ошибку предсказания, чуть большую, чем

Таким образом, рассматривается следующий алгоритм прогноза где — целое число, которое должно быть соответствующим образом выбрано:

Коэффициенты определяются из условия минимума среднеквадратической ошибки

можно минимизировать так как квадратическая форма относительно Минимизирующее значение имеет вид

Коэффициенты корреляции вычисляются так же, как и в Минимальное значение среднеквадратической ошибки:

Перепишем формулу алгоритма прогноза в виде

Чтобы вщбрать надо вычислить вектор при различных значениях Для каждого такого случая вычисляются также предсказанные значения при Пусть

Для каждого из рассматриваемых случаев вычисляются эмпирические средние квадраты ошибки предсказания Затем выбирается которому соответствует наименьшее значение Поскольку оценка вычисляется по наблюдениям, стандартное отклонение оценки задается выражением

2k. Заключение

Мы рассмотрели ряд вопросов, касающихся главным образом предсказания в моделях стохастических разностных уравнений как конечного, так и бесконечного порядка.

Было также рассмотрено большое количество близких вопросов, таких как спектральное представление, предсказание и временная характеристика разброса с измененным масштабом.

Приложение 2.1. Характеристики моделей дробного шума

Пусть

и

Покажем, что

Аналогично можно показать, что

Задачи

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление