Главная > Обработка сигналов, моделирование > Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2f. Предсказание

Мы ограничиваемся теорией предсказания для моделей стохастических разностных уравнений. Более общая теория предсказания в линейных динамических системах может быть найдена в работах Калмана (1963) и Кайласа (1968). Обсуждение различных методов предсказания, используемых в торговле для прогнозирования сбыта, можно найти у Кендалла (1973).

2f.1. Общая форма алгоритма прогноза в многомерных системах.

Приемлемый прогноз можно получить, используя распределение вероятностей только мгновенного значения Разумно считать, что прогноз, основанный как на совокупности наблюдений процесса вплоть до момента так и на функции распределения вероятностей должен быть лучше, чем прогноз, основанный только на распределении вероятностей

Однако учесть информацию, содержащуюся в 1), в прогнозе можно, только если известна функциональная зависимость между и Все схемы предсказания для данного случая предполагают такую связь, не важно, задана она в явном виде или нет. Функциональную зависимость между

можно представить в виде

где непосредственно не наблюдаемая последовательность независимых одинаково распределенных величин, — вектор параметров, известная функция. Если функция неизвестна, формула не дает никакой новой информации и, следовательно, знание бесполезно для предсказания Параметр обычно неизвестен. Когда 0 неизвестен, можно считать его случайной величиной с постоянным значением на протяжении всего эксперимента, в отличие от чье значение непрерывно меняется во время эксперимента.

Второй компонентой в предсказании является критериальная функция. Прогноз редко совпадает с действительным значением; функция потерь или критериальная функция отражает степень значимости, приписываемой разности между предсказанием и истинным значением. Обычно используемая функция потерь является квадратической функцией где результат предсказания Квадратическая функция потерь удобна для аналитического исследования. Более того, предсказание, полученное на основе квадратической функции, часто оказывается удовлетворительным. Среднее значение функции потерь называется функцией риска Обычно выбирают прогноз таким образом, чтобы минимизировать Пусть где любая функция указанных аргументов. Тогда выберем так, чтобы минимизировать Оптимальное правило предсказания, которое минимизирует квадратическую функцию риска имеет вид

Важным свойством оптимального правила предсказания у является так называемое свойство ортогональности

где любая -мерная векторная функция указанных аргументов, ошибка оптимального предсказания. Формула показывает, что ошибка оптимального предсказания ортогональна всем наблюдениям, используемым для предсказания. Обращение к геометрическому языку подсказано интересной геометрической интерпретацией предсказания, дайной ниже.

Будем рассматривать случайные величины как элементы гильбертова пространства. Если любые два элемента этого пространства, расстояние между ними можно задать квадратической функцией Векторы, соответствующие , обозначены на рис. 2f.1.1

отрезками и Тогда ортогональной проекции вектора на пространство, натянутое на соответствует ошибке предсказания. По определению, ортогонально пространству, натянутому на и следовательно, ортогонально любому вектору в этом пространстве. Это и есть свойство ортогональности которое может быть доказано следующим образом:

по определению у и потому, что — является функцией только Чтобы доказать оптимальность предсказателя обозначим через у любой другой предсказатель:

Рис. 2f.1.1.

Третий член в равен 0 по свойству ортогональности так как член есть функция только Поскольку второй член неотрицателен, левая часть не может быть меньше, чем первый член справа, откуда следует оптимальность предсказателя в формуле Алгоритм прогноза также оптимален по отношению к любой функции потерь, являющейся выпуклой функцией разности

2f.2. Определение алгоритма прогноза.

Чтобы получить явное выражение для алгоритма прогноза, нужно сделать специальные допущения относительно у ( Пусть соотношения между и заданы в виде разностного уравнения и пусть 0 — вектор коэффициентов в нем, т. е. коэффициентов матричных многочленов

Случай (I). в известен. Допустим, что последовательность независимых величин с нулевыми средними и система обратима. Относительно распределения вероятностей никаких других допущений не требуется. По определению,

Согласно является функцией или неявной функцией Так как система обратима, то

Беря условное математическое ожидание всех членов (2а. 1.1) относительно — 1) и используя получим следующее уравнение для :

Метод оценивания по необходим для того, чтобы использовать алгоритм прогноза Поэтому мы определяем следующую оценку величины которая рекуррентно вычисляется из (2f.2.3), в свою очередь получаемого из заменой на

Правая часть включает только данные, известные к моменту Легко показать, что при Заменяя на получим требуемое предсказание на один шаг вперед. Такая замена приводит к небольшой ошибке, так как равна только асимптотически. Но эта ошибка экспоненциально убывает, так как является экспоненциально устойчивой линейной системой.

Получим теперь выражение для точности алгоритма прогноза у. Мерой точности алгоритма прогноза является значение среднеквадратической ошибки. Поскольку асимптотически, матрице ковариаций ошибок

Здесь существенно допущение обратимости. Если это предположение не выполнено, не имеет места и алгоритм прогноза в не будет оптимальным. В этом случае мы должны заменить необратимую систему эквивалентной обратимой системой и повторить процесс предсказания.

Случай неизвестен. Этот случай более реален, чем случай (I). Он также более сложен, так как включает оценку 0. Метод предсказания для этого случая будет подробно описан в гл. VI. Чтобы проиллюстрировать этот метод, рассмотрим систему авторегрессии первого порядка . С байесовской точки зрения неизвестная величина может быть рассмотрена как случайная матрица, принимающая постоянное значение во, время "всего эксперимента. Хотя такая интерпретация может породить проблемы философского характера, ее практическое значение огромно. Применяя операцию условного математического ожидания относительно 1), получим Нам нужно оценить величину апостериорную оценку по наблюдениям до момента Для получения оценки необходимо знание плотности вероятности возмущений Рассмотрим эту задачу позднее.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление