Главная > Математика > Вычислительные методы для инженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 11.8. Разделенные разности

1. Таблица разделенных разностей.

Пусть функция задана на таблице значений аргумента с произвольным (не обязательно постоянным) шагом, причем точки таблицы занумерованы в произвольном (не обязательно возрастающем) порядке. Величины

принято называть разделенными разностями первою порядка функции Разделенные разности второю порядка определяются формулой

Аналогично определяются разделенные разности третьего и более высоких порядков. Общее определение разделенной разности порядка таково:

Таблицу разделенных разностей обычно располагают следующим образом:

Таблица 11.6 (см. скан)

2. Свойства разделенных разностей.

Разделенные разности обладают рядом замечательных свойств. Перечислим без доказательства некоторые из них.

1°. Разделенная разность является симметричной функцией своих аргументов ее значение не меняется при любой их перестановке).

2°. Пусть функция имеет на отрезке содержащем точки производную порядка k. Тогда справедливо равенство

где некоторая точка, расположенная на интервале

3°. В случае, когда таблица значений аргумента имеет постоянный шаг разделенная и конечная разности связаны равенством

Пример 11.7. Приведем таблицу (табл. 11.7) разделенных разностей для функции, заданной табл. 11.1. Вычисления произведены на -разрядной десятичной ЭВМ.

Таблица 11.7 (см. скан)

Перенумеруем теперь узлы, положив Тогда таблица разделенных разностей примет следующий вид:

Таблица 11.8 (см. скан)

В табл. 11.8 подчеркнуты разделенные разности, которые совпадают (как и должно быть в силу свойства 1°) с точностью до вычислительной погрешности с соответствующими разделенными разностями из табл. 11.7 (они также подчеркнуты).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление