Главная > Математика > Вычислительные методы для инженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2.2. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности

В предыдущем параграфе было отмечено, что числа, получаемые при решении на ЭВМ прикладных задач, как правило, являются

приближенными. Следовательно, вопрос о точности результатов, т.е. о мере их уклонения от истинных значений, в теории и практике методов вычислений приобретает особое значение. Начнем его рассмотрение с введения основных понятий элементарной теории погрешностей.

Условимся относительно обозначений, которые в дальнейшем будут использоваться при сравнении величин. Кроме привычных знаков, будем использовать знаки приближенного равенства и приближенного неравенства В случае, когда положительные величины a и b являются величинами одного порядка (т.е. будем использовать обозначение а Если же а много меньше , то будем писать что эквивалентно соотношению

1. Абсолютная и относительная погрешности.

Пусть а — точное (вообще говоря, неизвестное) значение некоторой величины, а — известное приближенное значение той же величины (приближенное число). Ошибкой (или погрешностью) приближенного числа а называют разность между точным и приближенным значениями.

Простейшей количественной мерой ошибки является абсолютная погрешность

Однако по величине абсолютной погрешности далеко не всегда можно сделать правильное заключение о качестве приближения. Действительно, если то следует ли считать погрешность большой или нужно признать ее малой? Ответ существенным образом зависит от принятых единиц измерения и масштабов величин. Если , то скорее всего точность приближения невелика; если же а то следует признать точность очень высокой. Таким образом, естественно соотнести погрешность величины и ее значение, для чего вводится понятие относительной погрешности (при

Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерения. Заметим, что для приведенного выше примера в первом случае и во втором.

Так как значение а неизвестно, то непосредственное вычисление величин по формулам (2.1), (2.2) невозможно. Более

реальная и часто поддающаяся решению задача состоит в получении оценок погрешности вида

где известные величины, которые мы будем называть верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.

Если величина известна, то неравенство (2.4) будет выполнено, если положить

Точно так же если величина известна, то следует положить

Поскольку значение а неизвестно, при практическом применении формулы (2.5), (2.6) заменяют приближенными равенствами

Замечание. В литературе по методам вычислений широко используется термин "точность". Принято говорить о точности входных данных и решения, о повышении и снижении точности вычислений и т.д. Мы также будем использовать эту терминологию, за которой скрывается довольно простой смысл. Точность в качественных рассуждениях обычно выступает как противоположность погрешности, хотя для количественного их измерения используются одни и те же характеристики (например, абсолютная и относительная погрешности). Точное значение величины — это значение, не содержащее погрешности. Повышение точности воспринимается как уменьшение погрешности, а снижение точности — как увеличение погрешности. Часто используемая фраза "требуется найти решение с заданной точностью означает, что ставится задача о нахождении приближенного решения, принятая мера погрешности которого не превышает заданной величины Вообще говоря, следовало бы говорить об абсолютной точности и относительной точности, но часто этого не делают, считая, что из контекста ясно, как измеряется величина погрешности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление