Главная > Математика > Вычислительные методы для инженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8.3. Метод обратных итераций

1. Вычисление собственных векторов методом обратных итераций.

Многие из методов решения проблем собственных значений лучше приспособлены для вычисления собственных значений, чем собственных векторов. Поэтому целесообразно рассмотреть задачу вычисления собственного вектора при условии, что уже найдено достаточно точное приближение А к собственному значению

Если исходить непосредственно из определения собственного вектора, то следует искать как нетривиальное решение однородной системы уравнений

с вырожденной матрицей Однако известно лишь приближенно и в действительности при таком подходе вместо системы -придется решать систему

Так как матрица заведомо невырождена, то решением системы (8.25) является только Следовательно, непосредственное численное решение системы (8.25) не дает возможность вычислить собственный вектор.

Одним из эффективных методов вычисления собственных векторов является метод обратных итераций. В этом методе приближения к собственному вектору определяют последовательным решением систем уравнений

с последующей нормировкой решения:

В качестве начального приближения берут ненулевой вектор с произвольно выбираемыми или даже случайными компонентами. Часто удовлетворительным является выбор

Чтобы понять механизм действия метода, рассмотрим случай, когда А — матрица простой структуры, а простое собственное значение. Представим векторы в виде линейных комбинаций собственных векторов

Так как то систему уравнений при можно записать в виде

Приравнивая коэффициенты при получим Следовательно,

Если для всех то второе слагаемое в правой части формулы (8.28) мало по сравнению с первым. Поэтому и вектор оказывается близким по направлению к вектору

Можно показать, что вектор вычисляемый на итерации, имеет вид

где при Вектор сходится к по направлению со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой

Если абсолютная погрешность значения А много меньше расстояния от до ближайшего из остальных собственных чисел (что эквивалентно выполнению условия для всех то метод обратных итераций сходится очень быстро. Чаще всего достаточно сделать 1—3 итерации.

Пример 8.6. Используя метод обратных итераций, найдем на 6-разрядной десятичной ЭВМ собственный вектор матрицы (8.4), отвечающий собственному значению .

Возьмем Тогда система (8.26) при примет вид

Вычисляя ее решение методом Гаусса, получим После нормировки имеем

Подставляя в правую часть системы (8.26) вместо вектора вектор 1 и вычисляя решение, находим Полученные после нормировки значения с машинной точностью совпадают со значениями, полученными на первой итерации. Итерации следует прервать и считать результатом вектор

Замечание 1. Так как А почти совпадает со значением при котором то матрица очень плохо обусловлена. Возникает естественное опасение, что большие погрешности, неизбежные при реализации вычислительного процесса (8.26), (8.27) на ЭВМ, могут существенно повлиять на свойства приближений. К счастью, это не так; ошибка, возникающая при

численном решении системы (8.26) (которая может быть по величине сравнима с оказывается почти пропорциональной вектору . В данном случае плохая обусловленность системы не ухудшает, а улучшает ситуацию.

В справедливости сказанного легко убедиться, если повторить вычисления из примера 8.5, используя микрокалькулятор. Полученные значения наверняка будут иметь мало общего с указанными в примере. Тем не менее приближения практически совпадут с вычисленными выше, отличаясь, возможно, только знаком.

Замечание 2. Записав равенство (8.26) в виде замечаем, что метод обратных итераций — это просто степенной метод, примененный к матрице

2. Метод обратных итераций с использованием отношения Рэлея.

Одной из проблем применения метода обратных итераций является необходимость получения хорошего приближения к собственному значению. В случае, когда А — симметричная матрица, можно попытаться использовать для оценки отношение Рэлея Этот подход приводит к следующему комбинированному методу.

Предполагается, что начальный вектор нормирован, т.е.

Если начальное приближение хорошо аппроксимирует по направлению вектор то метод (8.29) — (8.31) сходится очень быстро. Например, если простое собственное значение, то сходимость оказывает кубической. Одним из способов получения удовлетворительного начального приближения является выполнение нескольких итераций степенного метода.

Замечание. В случае, когда метод (8.29) — (8.31) сходится, он позволяет одновременно эффективно вычислять и собственное значение и соответствующий собственный вектор

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление