Главная > Математика > Вычислительные методы для инженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 8. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

Вычисление собственных значений и собственных векторов — одна из тех сложных вычислительных задач, с которой часто приходится сталкиваться инженеру или научному работнику, занимающемуся конструированием или анализом больших технических систем. В электрических и механических системах собственные числа отвечают собственным частотам колебаний, а собственные векторы характеризуют соответствующие формы (моды) колебаний. Знание собственных чисел позволяет анализировать многие процессы, исследовать и управлять ими. Оценка величин критических нагрузок при расчете строительных конструкций также основана на информации о собственных значениях и собственных векторах матриц.

Собственные числа и собственные векторы являются важнейшими характеристиками, отражающими существенные стороны линейных моделей. Поэтому, конечно, дальнейшее расширение процесса математического моделирования приведет к тому, что владение методами решения проблемы собственных значений станет неотъемлемым элементом инженерного образования.

§ 8.1. Постановка задачи. Некоторые вспомогательные сведения

1. Постановка задачи.

В данной главе мы ограничимся рассмотрением методов решения проблемы собственных значений только для квадратных матриц А порядка с вещественными элементами Будем всюду под понимать норму и под скалярное произведение векторов х, у (см. § 5.2).

Напомним, что число А называется собственным значением

(собственным числом) матрицы А, если существует ненулевой вектор х, удовлетворяющий уравнению

и называемый собственным вектором матрицы А, отвечающим собственному значению А.

Запишем систему (8.1) в виде

Эта однородная система имеет ненулевое решение х тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю, т.е.

Раскрытие этого уравнения приводит к так называемому характеристическому (или вековому) уравнению

представляющему собой алгебраическое уравнение степени

Известно, что характеристическое уравнение имеет в области комплексных чисел ровно корней (с учетом их кратности). Таким образом, каждая квадратная матрица А порядка обладает набором из собственных значений

Если матрица А симметричная, то все ее собственные значения являются вещественными числами. Для несимметричных матриц возможно наличие комплексных собственных значений вида с ненулевой мнимой частью. В этом случае собственным значением матрицы обязательно является и комплексно-сопряженное число

В ряде задач механики, физики, химии, техники, биологии требуется получение всех собственных значений некоторых матриц, а иногда и всех собственных векторов. В такой постановке задачу называют полной проблемой собственных значений.

Довольно часто определению подлежат не все собственные значения и собственные векторы, а лишь небольшая их часть. Например, существенный интерес во многих приложениях представляют максимальное или минимальное по модулю собственное значение или же собственное значение, наиболее близко расположенное к заданному значению. Такие задачи являются примерами частичных проблем собственных значений.

Может показаться, что достаточно ограничиться только рассмотрением методов решения полной проблемы собственных значений, так

как все остальные проблемы являются ее частными случаями. Однако такой подход неоправдан, поскольку ориентирует на работу по получению значительного объема заведомо ненужной информации и требует существенно большего объема вычислений, чем это необходимо в действительности. Поэтому для решения различных частичных проблем собственных значений разработан ряд специальных методов.

Пример 8.1. Найдем собственные числа матрицы

Запишем характеристический многочлен

Используя один из итерационных методов решения нелинейных уравнений (например, метод Ньютона), нетрудно определить один из корней уравнения а именно . Разделив на имеем Решая квадратное уравнение находим корни

Таким образом, матрица А имеет одно вещественное собственное значение и два комплексно-сопряженных собственных значения .

Численные методы решения проблемы собственных значений, использовавшиеся до конца 40-х годов, сводились в конечном счете к решению характеристического уравнения (8.3). Этой классической схеме следовали и мы в примере 8.1. При реализации такого подхода основные усилия были направлены на разработку эффективных методов быстрого вычисления коэффициентов характеристического уравнения. Методы такого класса получили названия прямых; к ним относятся пользовавшиеся популярностью методы Крылова, Данилевского, Леверье и др.

Однако указанный подход становится неудовлетворительным, если речь идет о вычислении собственных значений матриц, имеющих порядок в несколько десятков (и тем более сотен), т.е. матриц довольно скромных по современным понятиям размеров.

Одна из причин состоит в том, что хотя задачи (8.1) и (8.3) формально эквивалентны, они имеют разную обусловленность. Так как корни многочлена высокой степени чрезвычайно чувствительны к погрешностям в коэффициентах, то на этапе вычисления коэффициентов характеристического уравнения может быть в значительной степени потеряна информация о собственных значениях матрицы.

С появлением ЭВМ широкое распространение получили итерационные методы решения проблемы собственных значений, не использующие вычисление характеристического многочлена. К началу 60-х годов эти методы практически полностью вытеснили прямые методы из практики вычислений.

2. Преобразование подобия.

Говорят, что матрицы подобны, если существует невырожденная матрица (матрица подобия) такая, что Само преобразование матрицы А к виду называется преобразованием подобия. Преобразование подобия матрицы возникает естественным образом как результат замены переменных (или перехода к новому базису) в пространстве -мерных векторов. Действительно, пусть у — результат применения матрицы А к вектору х, т.е. Произведем замену переменных Тогда равенство примет вид Это означает, что в новых переменных то же самое преобразование осуществляется уже не матрицей А, а матрицей подобной А.

Важно то, что и полученная в результате преобразования подобия матрица имеет тот же набор собственных чисел. В самом деле, рассмотрим характеристический многочлен для матрицы и воспользуемся тем, что определитель произведения квадратных матриц равен произведению соответствующих определителей:

Таким образом, характеристические многочлены, а следовательно, и собственные числа матриц совпадают. Соответствующие собственные векторы не совпадают, но, как нетрудно установить, они связаны равенством

Если бы матрицу А с помощью преобразования подобия или последовательности таких преобразований удалось привести к верхнему треугольному виду, то проблему вычисления собственных значений

можно было бы считать решенной. Дело в том, что у верхней треугольной матрицы

собственными числами являются элементы главной диагонали В этом нетрудно убедиться, если записать характеристический многочлен:

Оказывается, что преобразованием подобия матрицу А можно привести к еще более простому виду, чем (8.5). Справедлива (см. [23]) следующая теорема.

Теорема 8.1. Любую квадратную матрицу А с помощью преобразования подобия можно привести к следующему виду:

Здесь собственные числа матрицы А. Числа принимают одно из двух значений или 1, причем если то обязательно

Матрица (8.6) называется жордановой формой матрицы А.

3. Матрицы простой структуры.

В этой главе особое внимание будет уделено матрицам простой структуры, т.е. матрицам, которые с помощью преобразования подобия можно привести к диагональному виду:

Запишем равенство (8.7) в виде и заметим, что оно верно тогда и только тогда, когда каждый столбец матрицы является собственным вектором матрицы А, отвечающим собственному значению Таким образом, верна следующая теорема.

Теорема 8.2. Матрица А является матрицей простой структуры тогда и только тогда, когда она имеет линейно независимых собственных векторов отвечающих собственным значениям соответственно.

Указанные в теореме собственные векторы образуют базис в пространстве -мерных векторов. Поэтому каждый -мерный вектор х может быть однозначно представлен в виде линейной комбинации этих векторов:

Какие же матрицы заведомо могут быть приведены к диагональному виду? Следующие два предложения частично отвечают на этот вопрос.

Теорема 8.3. Если все собственные значения матрицы А различны, то она является матрицей простой структуры.

Теорема 8.4. Если А — вещественная симметричная матрица, то она подобна диагональной матрице, причем матрица подобия может быть выбрана ортогональной (т.е. удовлетворяющей условию

4. Локализация собственных значений.

С помощью так называемых теорем локализации иногда удается получить грубые оценки расположения собственных чисел. Изложим самый известный из этих результатов — теорему Гершгорина.

Пусть сумма модулей внедиагональных элементов строки матрицы А. Обозначим через круг радиуса на комплексной плоскости с центром в точке т.е. Будем называть круги кругами Гершгорина. Имеет место следующее утверждение.

Теорема 8.5 (теорема Гершгорина). Все собственные значения матрицы А лежат в объединении кругов

Возьмем произвольное собственное значение А матрицы А и соответствующий собственный вектор Пусть максимальная по модулю координата вектора х. Запишем уравнение системы (8.1) в следующем виде:

Из этого равенства с учетом оценки следует неравенство

Таким образом,

Пример 8.2. Для матрицы

круги Гершгорина изображены на рис. 8.1. Здесь

Рис. 8.1

Следующий результат является полезным дополнением к теореме Гершгорина.

Теорема 8.6. Если к кругов Гершгорина образуют замкнутую область изолированную от других кругов, то в находится ровно к собственных значений матрицы А (с учетом их кратности).

Следствие. Если какой-либо круг Гершгорина изолирован, то он содержит ровно одно собственное значение матрицы А.

Пример 8.3. Для матрицы А из примера 8.2 в объединении кругов находится ровно два собственных значения а круг содержит ровно одно собственное значение

5. Отношение Рэлея.

При вычислении собственных чисел и собственных векторов симметричных матриц важную роль играет функция

называемая отношением Рэлея. Следующее предложение частично объясняет значение этой величины.

Теорема 8.7. Пусть А — симметричная матрица. справедливы следующие утверждения:

1°) минимальное и максимальное собственные значения матрицы А вычисляются по формулам

2°) вектор является стационарной точкой функции (т.е. удовлетворяет условию тогда и только тогда, когда собственный вектор матрицы А.

При построении методов решения проблемы собственных значений существенно используется то обстоятельство, что если хорошее приближение к собственному вектору то хорошее приближение к собственному числу

6. Обусловленность задачи вычисления собственных значений и собственных векторов.

Пусть матрица с приближенно заданными элементами Обозначим через собственные числа матрицы Рассмотрение вопроса о том, как влияет погрешность задания матрицы на погрешность искомых собственных значений, начнем с формулировки следующего известного результата.

Теорема 8.8. Пусть симметричные матрицы, а X и X — их собственные числа, упорядоченные по возрастанию. Тогда справедливы оценки погрешности

Теорема 8.8 означает, что задача вычисления собственных значений симметричных матриц очень хорошо обусловлена. Следовательно, в

этом случае собственные числа надежно определяются заданием элементов матрицы. К сожалению, для несимметричных матриц дело обстоит совсем иначе. Хотя задача вычисления собственных значений и в этом случае является устойчивой, для многих несимметричных матриц собственные значения чрезвычайно чувствительны к погрешностям задания коэффициентов.

Пример 8.4. Приведем принадлежащий Дж. Х. Уилкинсону [83] пример матрицы, очень плохо обуословленной по отношению к проблеме собственных значений.

Собственными числами верхней треугольной матрицы 20-го порядка

являются числа Заметим, что для этой матрицы характеристический многочлен только лишь знаком отличается от многочлена, рассмотренного в примере 3.8 в связи с плохой обусловленностью его корней. Добавим малое к элементу . В результате характеристическое уравнение примет вид

При собственные значения возмущенной матрицы таковы: . Как нетрудно видеть, большинство значений оказались полностью искаженными.

Отметим, что число обусловленности матрицы А не характеризует обусловленность матрицы по отношению к проблеме собственных значений. Оказывается, что такой характеристикой чувствительности собственных значений относительно погрешности задания матрицы для матрицы простой структуры служит число обусловленности матрицы столбцы которой являются собственными векторами матрицы А. В подтверждение сказанного приведем следующий результат.

Теорема 8.9. Пусть , где диагональная матрица

из собственных значений матрицы А, и пусть Тогда каждое собственное значение матрицы удалено от некоторого собственною значения матрицы А не более чем на

Пусть собственный вектор матрицы А, отвечающий собственному значению собственный вектор приближенно заданной матрицы отвечающий собственному значению Прежде чем обсуждать обусловленность задачи вычисления собственного вектора х, заметим, что здесь вопрос о выборе меры близости векторов не является тривиальным. Выбор в качестве такой меры величины неудачен. Дело в том, что собственные векторы не определяются однозначно. Во всяком случае после умножения каждого из них на любые числа полученные векторы снова являются собственными. Поэтому имеет смысл стремиться не к тому, чтобы векторы были близки по норме, а к тому, чтобы они были близки по направлению. Исходя из этого, примем в качестве меры близости величину где угол между векторами вычисляемый по формуле

Задача вычисления собственных векторов симметричной матрицы хорошо обусловлена, если собственные значения хорошо отделены друг от друга. В подтверждение сказанного приведем следующий результат.

Теорема 8.10. Пусть симметричные матрицы. Тогда верна оценка

Здесь угол между векторами расстояние от А до ближайшего из несовпадающих с А собственных значений матрицы А.

В случае, когда матрица А несимметрична, собственные векторы могут оказаться очень плохо обусловленными.

Замечание. Подавляющее большинство встречающихся на практике матриц являются матрицами простой структуры. Это обстоятельство, а также ббльшая простота анализа методов вычислений и формулировок соответствующих результатов позволяют

нам в основном остановиться на проблеме собственных значений для матриц простой структуры.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление