Главная > Математика > Вычислительные методы для инженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7.5. О некоторых подходах к решению задач локализации и отыскания решений систем нелинейных уравнений

Подчеркнем еще раз, что одной из наиболее трудных проблем, возникающих при решении систем нелинейных уравнений, является задача локализации решения. Изложим некоторые подходы к ее решению, широко применяемые в практике вычислений. Указанные методы можно применять и для вычисления решения с заданной точностью

1. Использование методов минимизации.

Иногда бывает полезно свести задачу отыскания решения системы нелинейных уравнений к задаче отыскания минимума функции многих переменных. В простейшем варианте это сведение выглядит следующим образом. Введем функцию Она неотрицательна и достигает своего минимума (равного нулю) тогда и только тогда, когда для всех т.е. х является решением системы (7.1).

Применяя для отыскания минимума функции один из итерационных методов минимизации — методов спуска (см. гл. 10), можно найти вполне удовлетворительное приближение к решению х, которое затем имеет смысл использовать как начальное приближение в одном из итерационных методов решения нелинейных систем.

Выгода от указанного сведения исходной задачи к задаче минимизации состоит в том, что, как правило, методы спуска имеют более широкую область сходимости. Использование методов спуска можно рассматривать и как один из способов локализации решений системы (7.1). Применение на заключительном этапе методов, специально

ориентированных на решение нелинейных систем, вызвано тем, что вблизи искомого решения методы спуска сходятся медленее.

Следует отметить, что функция может иметь и ненулевые локальные минимумы, и в зависимости от выбора начального приближения методы спуска могут приводить к точкам локального минимума, не являющимися решениями системы (7.1).

Пример 7.4. Решения системы (7.4) являются точками глобального минимума функции

2. Метод продолжения по параметру.

Сначала заметим, что довольно часто на практике встречаются ситуации, когда система нелинейных уравнений естественным образом зависит от некоторого параметра т.е. имеет вид

а решение ее следует найти при некотором фиксированном значении параметра, например при . В частности, этим свойством обладает система из примера 7.1. Предположим, что при каждом система (7.24) имеет решение непрерывно зависящее от параметра причем при решение системы известно либо легко вычисляется.

Таким образом, семейство решений описывает в пространстве траекторию, начальная точка которой известна, а конечная подлежит определению (рис. 7.5).

Рис. 7.5

Рис. 7.6

И в тех случаях, когда система не зависит от параметра, можно ввести параметр t так, чтобы были выполнены указанные выше условия. Например, если известное приближение к решению системы то можно рассмотреть систему вида (7.24), полагая

Введем на отрезке [0, 1] набор точек Используя тот или иной итерационный метод, решим последовательно для системы При этом за начальное приближение к будем принимать решение Если разность достаточно мала, то можно ожидать, что будет достаточно хорошим начальным приближением к обеспечивающим сходимость используемого итерационного метода.

Замечание. Довольно часто на практике проводится исследование зависимости определенных характеристик объекта от некоторого параметра Для таких задач метод продолжения естествен. Более того, точки можно выбрать, используя дополнительные соображения, причем решение представляет интерес не только для но и для всех

3. Метод дифференцирования по параметру.

Предположим, что решение системы (7.24) является гладкой функцией параметра Дифференцируя тождество по получим

Здесь матрица с элементами вектор-столбец с элементами Таким образом, если матрица невырождена то является решением задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Интересующее нас значение решения можно теперь найти приближенно, применяя численные методы решения задачи Коши.

Например, метод Эйлера приводит к процессу

где приближение к (рис. 7.6). Конечно, метод Эйлера приведен здесь только для удобства иллюстрации, а в реальной ситуации используется один из методов более высокого порядка точности.

Полученное указанным способом значение можно использовать и как хорошее начальное приближение к в одном из итерационных методов решения системы (7.24).

Замечание 1. Иногда метод дифференцирования по параметру называют методом Давиденко.

Замечание 2. Методы продолжения и дифференцирования по параметру нередко позволяют успешно преодолевать непростую проблему локализации. Однако следует отметить, что эти методы далеко не всегда оказываются эффективными и их практическое применение требует определенной осторожности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление