Главная > Математика > Вычислительные методы для инженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7.3. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений

1. Описание метода.

Обобщим метод Ньютона, изложенный в § 4.6 для решения одного нелинейного уравнения, на решение систем нелинейных уравнений (7.1). При этом будем исходить из трактовки метода Ньютона как метода линеаризации.

Предположим, что исходя из начального приближения к решению х построены приближения Заменим в системе (7.1) каждую из функций линейной частью ее разложения по формуле Тейлора в точке

В результате придем к системе линейных алгебраических уравнений

имеющей в матричной форме записи следующий вид:

Здесь матрица Якоби (7.3).

Предположим, что матрица невырожденная, т.е. существует обратная матрица Тогда система (7.13) имеет единственное решение, которое и принимается за очередное приближение к решению х. Таким образом, приближение удовлетворяет равенству

выражая из которого выводим итерационную формулу метода Ньютона:

Замечание. Формула (7.15) предполагает использование трудоемкой операции обращения матрицы (см. гл. 5), поэтому непосредственное ее использование для вычисления в большинстве случаев нецелесообразно. Обычно вместо этого решают эквивалентную системе (7.14) систему линейных алгебраических уравнений

относительно поправки Затем полагают

2. Сходимость метода.

Сформулируем основную теорему о сходимости метода Ньютона.

Теорема 7.3. Пусть в некоторой окрестности решения х системы (7.1) функции дважды непрерывно дифференцируемы и матрица невырождена. Тогда найдется такая малая -окрестность решения х, что при произвольном выборе начального приближения из этой окрестности итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка:

Эта оценка означает, что метод сходится с квадратичной скоростью.

Квадратичная скорость сходимости метода Ньютона позволяет использовать простой практический критерий окончания:

Пример 7.3. Используя метод Ньютона, найдем с точностью решение системы (7.4).

Возьмем и будем вести вычисления по формулам (7.16), (7.17), в которых

Результаты вычислений с шестью знаками мантиссы приведены в табл. 7.2.

Таблица 7.2 (см. скан)

При критерий окончания выполняется и можно положить

3. Трудности использования.

Изложенные в § 4.6 трудности использования метода Ньютона не только сохраняются при применении его к решению систем нелинейных уравнений, но и усугубляются. Во-первых, возникает проблема вычисления на каждой итерации матрицы из частных производных, что само по себе может оказаться весьма сложным делом. Во-вторых, обостряется проблема нахождения хорошего начального приближения. Ее решить в многомерном случае гораздо труднее, чем в одномерном.

4. Влияние погрешности вычислений.

Пусть вычисляемые на ЭВМ приближенные значения вектор-функции и матрицы Якоби Пусть для решения системы линейных алгебраических уравнений используется схема частичного выбора (см. § 5.5). Будем считать, что матрица достаточно хорошо обусловлена и вычисляется не слишком грубо Тогда при выборе начального приближения из малой окрестности решения метод Ньютона является устойчивым и дает возможность найти решение с гарантированной точностью

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление