Главная > Математика > Вычислительные методы для инженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 7. МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

В этой главе рассматривается задача отыскания решений систем нелинейных уравнений, существенно более сложная, нежели задачи отыскания решения одного нелинейного уравнения или системы линейных алгебраических уравнений. Тем не менее достаточно подробное знакомство с содержанием глав 4 и 6, а также § 5.1 — 5.3 позволяет увидеть соответствующие аналогии в постановках проблем и методах их решения для нелинейных систем.

Будем считать, что в множестве -мерных векторов введена некоторая норма, порождающая соответствующую норму для квадратных матриц порядка (см. § 5.2).

§ 7.1. Постановка задачи. Основные этапы решения

1. Постановка задачи.

Задача отыскания решения системы нелинейных уравнений с неизвестными вида

является существенно более сложной, чем рассмотренная в гл. 4 задача отыскания решения уравнения с одним неизвестным. Однако на практике она встречается значительно чаще, так как в реальных исследованиях интерес представляет, как правило, определение не одного, а нескольких параметров (нередкр их число доходит до сотен и тысяч).

Найти точное решение системы, т.е. вектор

удовлетворяющий уравнениям (7.1), практически невозможно. В отличие от случая решения систем линейных алгебраических уравнений использование прямых методов здесь исключается. Единственно реальный путь решения системы (7.1) состоит в использовании итерационных методов для получения приближенного решения удовлетворяющего при заданном неравенству

Прежде чем перейти к изучению методов решения системы подчеркнем важность понимания того факта, что эта задача может вообще не иметь решения, а в случае, когда решения существуют, их число может быть произвольным. В общем случае весьма сложно выяснить, имеет ли система решения и сколько их.

Пример 7.1. Рассмотрим систему уравнений

Здесь неизвестные, параметр. Первое уравнение задает на плоскости эллипс, второе уравнение — параболу. Координаты точек

Рис. 7.1

пересечения этих кривых дают решения системы. Если значения параметра изменяются от -2 до 2, то возможны следующие ситуации (рис. 7.1): a) - решений нет; б) одно решение; в) два решения; г) три решения; д) четыре решения.

Для дальнейшего удобно использовать сокращенную векторную форму записи систем. Наряду с вектором неизвестных рассмотрим вектор-функцию . В этих обозначениях система (7.1) примет вид

Будем считать функции непрерывно дифференцируемыми в некоторой окрестности решения х. Введем для системы функций матрицу Якоби

которая будет использована в дальнейшем.

2. Основные этапы решения.

Как и в случае уравнения с одним неизвестным (см. гл. 4), отыскание решений начинают с этапа локализации. Для каждого из искомых решений х указывают множество, которое содержит только одно это решение и расположено в достаточно малой его окрестности. Часто в качестве такого множества выступает параллелепипед или шар в -мерном пространстве.

Иногда этап локализации не вызывает затруднений; соответствующие множества могут быть заданными, определяться из физических соображений, из смысла параметров х, либо быть известными из опыта решений подобных задач. Однако чаще всего задача локализации (в особенности при больших представляет собой сложную проблему, от успешного решения которой в основном и зависит возможность вычисления решений системы (7.1). На этапе локализации особое значение приобретают квалификация исследователя, понимание им существа решаемой научной или инженерной проблемы, опыт решения этой или близких задач на ЭВМ. Во многих случаях полное решение задачи локализации невозможно и ее можно считать решенной удовлетворительно, если для х удается найти хорошее начальное

приближение . В простейших случаях (например, для системы двух уравнений с двумя неизвестными) могут быть использованы графические методы (см. пример 7.1).

На втором этапе для вычисления решения с заданной точностью используют один из итерационных методов решения нелинейных систем.

Будем считать, что определения § 4.1, связанные с характеризацией сходимости итерационных методов, остаются в силе, причем в неравенствах (4.5) и (4.6) знак модуля заменен на знак нормы, а -окрестность решения х понимается как множество точек удовлетворяющих условию

Пример 7.1. Произведем локализацию решений системы

На плоскости построим графики уравнений системы. График первого уравнения — это лист Декарта (рис. 7.2, а). График второго уравнения состоит из луча — биссектрисы первого координатного угла и кривой, пересекающей эту биссектрису в точке (рис. 7.2, б).

Из рис. 7.3 видно, что эти кривые пересекаются в трех точках т.е. система имеет три решения. Так как оба графика симметричны относительно прямой то координаты точки В равны и их легко вычислить: . В силу этой же симметрии достаточно определить только координаты точки С, так как точка А имеет координаты Из рис. 7.3 замечаем, что точка С содержится в прямоугольнике

Подчеркнем, что только по виду уравнений системы (7.4) без использования графического метода установить число решений и найти приближения к ним было бы весьма трудно. К сожалению, при числе уравнений геометрические иллюстрации теряют свою эффективность.

Замечание. Иногда удается понизить порядок системы, выразив одно или несколько неизвестных из одних уравнений системы и подставив соответствующие выражения в другие уравнения.

Рис. 7.2.

Рис. 7.3

Пример 7.2. Система уравнений

сводится к одному нелинейному уравнению после того, как из второго уравнения выражается

3. Корректность и обусловленность задачи.

Будем считать, что система (7.1) имеет решение х, причем в некоторой окрестности этого

решения матрица Якоби невырождена. Выполнение последнего условия гарантирует, что в указанной окрестности нет других решений системы (7.1). Случай, когда в точке матрица вырождена, является существенно более трудным и нами рассматриваться не будет. В одномерном случае первая ситуация отвечает наличию простого корня уравнения а вторая — кратного корня.

В § 4.2 было установлено, что погрешность вычисления функции приводит к образованию вокруг корня уравнения интервала неопределенности внутри которого невозможно определить, какая из точек является решением уравнения.

Рис. 7.4

Аналогично, погрешности в вычислении вектор-функции приводят к появлению области неопределенности содержащей решение х системы (7.1) такой, что для всех векторное уравнение удовлетворяется с точностью до погрешности. Область может иметь довольно сложную геометрическую структуру (рис. 7.4). Мы удовлетворимся только лишь оценкой радиуса этой области. Предположим, что для близких к х значений х вычисляемые значения удовлетворяют неравенству Тогда можно приближенно оценить с помощью неравенства

Таким образом, в рассматриваемой задаче роль абсолютного числа обусловленности играет норма матрицы, обратной матрице Якоби .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление