Главная > Математика > Вычислительные методы для инженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6.4. Дополнительные замечания

1. При изложении итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений нам пришлось ограничиться простейшими методами. В данной главе оказались не рассмотренным такие известные и популярные методы, как метод наискорейшего спуска, метод сопряженных градиентов (называемый еще методом Ланцоша), метод минимальных невязок, линейный многошаговый метод с чебишевским набором параметров и др. Эти методы изложены, например, в учебниках [9], [71] и в специальной литературе [20], [72], [89]. Отметим, что методы наискорейшего спуска и сопряженных градиентов будут рассмотрены в гл. 10 в связи с задачей минимизации квадратичной функции (6.31).

2. Многие итерационные методы решения систем с симметричными положительно определенными матрицами основаны на замене задачи отыскания решения системы эквивалентной задачей отыскания минимума квадратичной функции

В частности, метод Зейделя дает ту же последовательность приближений, что и метод покоординатного спуска, примененный к функции (6.31). Подробнее об этом будет сказано в § 10.2; см. также [9].

3. В настоящее время наиболее глубоко развиты методы решения систем уравнений с симметричными положительно определенными матрицами. Иногда этого достаточно, так как в принципе существует возможность симметризовать любую систему с невырожденной квадратной матрицей, т.е. свести ее к эквивалентной системе с симметричной положительно определенной матрицей. Для этого можно умножить обе части системы на матрицу . В полученной таким образом системе

матрица обладает всеми нужными свойствами.

Однако указанным образом поступают сравнительно редко. Дело в том, что при переходе от А к А может быть потеряно свойство разреженности. Крюме того, вообще говоря, существенно ухудшается обусловленность системы. Например, для матриц, близких к симметричным, Следовательно, имеется реальная опасность, что система (6.32) окажется очень плохо обусловленной.

4. Как уже было отмечено, одно из важнейших достоинств итерационных методов заключается в возможности эффективного использования разреженности матрицы А Поясним сказанное на примере метода простой итерации.

В случае когда матрица В — заполненная, для вычисления по формуле (6.6) требуется выполнить примерно арифметических операций. Однако для разреженной матрицы с ненулевыми элементами требуется лишь примерно арифметических операций (одно умножение и одно сложение на каждый ненулевой элемент). Таким образом, общее число операций составляет примерно где число итераций, необходимое для достижения заданной точности

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление