Главная > Математика > Вычислительные методы для инженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6.3. Метод релаксации

Метод последовательной верхней релаксации является одним из наиболее эффективных и широко используемых итерационных методов для решения систем линейных алгебраических уравнений с симметричными положительно определенными матрицами А. Этот метод часто называют SOR-методом. Частично популярность SOR-метода можно объяснить его простотой и тем, что он хорошо известен широкому кругу прикладников.

Суть метода релаксации состоит в следующем. После вычисления очередной компоненты приближения по формуле метода Зейделя

производят дополнительно смещение этой компоненты на величину где параметр релаксации. Таким образом, компонента приближения вычисляется по формуле

На рис. 6.2 показано несколько первых итераций метода при значении параметра релаксации

Рис. 6.2

В обозначениях предыдущего параграфа компактная формула для вычисления записывается следующим образом:

Как нетрудно видеть, при метод релаксации совпадает с методом Зейделя. При его было принято называть методом последовательной верхней релаксации, а при методом последовательной нижней релаксации. В последнее время метод релаксации называют методом последовательной верхней релаксации для любых значений

Если А — симметричная положительно определенная матрица, то при любом значении параметра метод релаксации сходится. Часто оказывается возможным выбрать Параметр так, чтобы SOR-метод сходился существенно быстрее, чем методы Якоби и Зейделя. Однако выбор параметра релаксации — довольно трудная задача. Во многих случаях она решается экспериментальным путем.

Существуют различные модификации метода релаксации. Распространенный вариант метода связан с использованием различных параметров для вычисления различных компонент х, очередного приближения к решению.

Пример 6.3. Используя метод последовательной верхней релаксации с параметром найдем решение системы (6.15) с точностью

Приведем систему к виду (6.16), положим и будем вычислять последовательные приближения по формулам:

Значения приближений с четырьмя цифрами после десятичной точки приведены в табл. 6.3.

Таблица 6.3 (см. скан)

Сравнение с точным решением показывает, что для получения приближения к решению с точностью потребовалось всего 4 итерации. Напомним, что для достижения той же точности при том же начальном приближении методами Якоби и Зейделя потребовалось соответственно 13 и 7 итераций.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление