Главная > Математика > Вычислительные методы для инженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3.5. Чувствительность вычислительных алгоритмов к ошибкам округления

Выполнение вычислений на ЭВМ сопровождается появлением вычислительной погрешности, связанной в первую очередь с необходимостью округления результата каждой арифметической операции. Даже если разрядность ЭВМ велика, существует реальная опасность, что выполнение большого числа операций приведет к накоплению погрешности, способной значительно или даже полностью исказить вычисляемый результат. Однако и при небольшом числе действий результат вычислений может оказаться совершенно неправильным, если алгоритм слишком чувствителен к ошибкам округления.

Начинающий вычислитель часто склонен игнорировать ошибки округления. На первых порах при решении простых задач, в особенности если новичок не задумывается о точности найденных решений, его позицию нетрудно понять. Однако решение серьезных задач (когда число арифметических операций превышает миллиарды, в

вычисления вкладываются значительные средства, а результат следует получить с гарантированной точностью и за принятые на основании расчетов решения приходится нести ответственность) предполагает совсем иное отношение к вычислительной погрешности.

1. Порядок выполнения операций.

Решение математической задачи на ЭВМ сводится в конечном итоге к выполнению последовательности простейших арифметических и логических операций. Однако часто одно и то же математическое выражение допускает различные способы вычисления, отличающиеся только порядком выполнения операций. Если вычисления производить точно, то они (при любом способе вычисления) будут приводить к одному результату. Однако результаты вычислений на ЭВМ уже зависят от порядка выполнения операций и различие в вычислительной погрешности может быть весьма значительным.

Рассмотрим простой, но полезный пример вычисления на ЭВМ суммы Пусть — положительные представимые на вычислительной машине числа. В каком порядке следует их суммировать для того, чтобы сделать вычислительную погрешность по возможности минимальной?

Пусть частичная сумма, ее приближенное значение, вычисляемое по формуле Погрешность значения складывается из погрешности значения и погрешности выполнения операции Следовательно, Поэтому

Так как множитель, с которым входит а в формулу для оценки погрешности, убывает с ростом в общем случае ошибка окажется наименьшей, если суммировать числа в порядке возрастания их значений, начиная с наименьшего.

Иногда неудачно выбранный порядок операций либо приводит к полной потере точности, либо вообще не дает возможности получить результат из-за переполнения.

Пример 3.29. Пусть на ЭВМ типа IBM PC требуется вычислить произведение где Если производить вычисления в естественном порядке, то уже и 1044 дает аварийный останов по переполнению. Вычисление произведения в обратном

порядке сразу же приводит к исчезновению порядка, так как . В результате и после выполнения всех умножений будет получено нулевое значение . В данном случае вполне приемлем следующий порядок операций: исключающий возможность переполнения или антипереполнения.

2. Катастрофическая потеря точности.

Иногда короткая последовательность вычислений приводит от исходных данных, известных с высокой точностью, к результату, содержащему недопустимо мало верных цифр или вообще не имеющему ни одной верной цифры. В этом случае, как было отмечено в § 3.2, принято говорить о катастрофической потере точности. В примере 3.29 мы сталкивались с ситуацией, когда неудачный порядок вычисления произведения привел к неверному нулевому значению результата. Рассмотрим другие примеры.

Пример 3.30. Известно, что функция может быть представлена в виде сходящегося степенного ряда:

Возможность вычисления значения экспоненты прямым суммированием ряда (3.20) кажется привлекательной. Пусть для вычислений используется -разрядная десятичная ЭВМ. Возьмем и будем вычислять значения частичных сумм до тех пор, пока добавление очередного слагаемого еще меняет значение суммы:

В сумму вошло 36 слагаемых и значение очередного слагаемого оказалось уже не в состоянии изменить результат. Можно ли считать результат удовлетворительным? Сравнение с истинным значением показывает, что найденное значение не содержит ни одной верной цифры.

В чем причина катастрофической потери точности? Дело в том, что вычисленные слагаемые ряда неизбежно содержат погрешности, причем для некоторых (для слагаемых с 5-го по 13-е) величина погрешности превосходит значение самого искомого результата. Налицо явный дефект алгоритма, к обсуждению которого мы еще вернемся в конце этого параграфа.

В данном случае переход к вычислениям с удвоенной длиной мантисс позволит получить значение с шестью верными значащими цифрами.

Однако всего лишь удвоенное значение аргумента снова возвращает нас к той же проблеме. Поступим иначе. Используя разложение (3.20), вычислим и тогда и . Предложенное изменение алгоритма позволило получить искомое значение на той же -разрядной десятичной ЭВМ, но уже с шестью верными значащими цифрами.

Заметим тем не менее, что реальные машинные алгоритмы вычисления устроены совсем иначе.

Приведем теперь пример, когда к катастрофической потере точности приводит еще более короткая последовательность вычислений.

Пример 3.31. Пусть при на -разрядной десятичной ЭВМ вычисляется значение функции

Заметим, что при и величины близки. Так как вычисленные их приближенные значения с и с будут содержать ошибку, то возможна серьезная потеря точности. Действительно, При вычитании старшие разряды оказались потерянными и в результате осталась только одна значащая цифра.

Вычисление по эквивалентной формуле позволяет избежать вычитания близких чисел и дает значение с шестью верными цифрами.

Интересно отметить, что причем использование этой приближенной формулы в данном случае дает 6 верных значащих цифр, в то время как вычисления по формуле (3.21) — только одну верную цифру.

Замечание. Не всегда катастрофическая потеря точности в промежуточных вычислениях действительно является катастрофой.

Все зависит от того, как в дальнейшем используется результат.

3. Обусловленность вычислительного алгоритма.

По аналогии с понятием обусловленности математической задачи можно ввести понятие обусловленности вычислительного алгоритма, отражающее чувствительность результата работы алгоритма к малым, но неизбежным ошибкам округления. Вычислительно устойчивый алгоритм называют хорошо обусловленным, если малые относительные погрешности округления (характеризуемые числом ем) приводят к малой относительной

вычислительной погрешности результата у, и плохо обусловленным, если вычислительная погрешность может быть недопустимо большой.

Если связаны неравенством то число следует называть числом обусловленности вычислительною алгоритма. Для плохо обусловленного алгоритма

При очень большом значении числа обусловленности алгоритм можно считать практически неустойчивым.

Применим, например, алгоритм, первоначально предложенный в примере 3.26, для вычисления конечной серии из интегралов Тогда коэффициент роста ошибки окажется конечным. Иными словами, при вычислении конечной серии интегралов алгоритм формально оказывается устойчивым. Тем не менее уже при не очень больших значениях он настолько плохо обусловлен, что в практическом плане может считабгься неустойчивым.

Для решения хорошо обусловленной задачи нет смысла применять плохо обусловленный алгоритм. Именно такими являются алгоритмы, первоначально предложенные в примерах 3.26 и 3.30.

Вернемся к примеру 3.30. Задача вычисления функции хорошо обусловлена (см. пример 3.10). Можно ли было предвидеть катастрофическую потерю точности при вычислении значения прямым суммированием ряда

Рассмотрим задачу суммирования ряда со слагаемыми Каждое из этих слагаемых вычисляется с относительной ошибкой При формула (3.10) с учетом разложения (3.20) дает значение Рост модуля приводит к резкому ухудшению обусловленности вычислений. Для , как в примере 3.30, имеем Поэтому неудивительна полная потеря точности при вычислениях на -разрядной десятичной ЭВМ.

Рассмотрим теперь обусловленность алгоритма прямого вычисления по формуле (3.21). Если величина х не слишком мала то значения будут содержать ошибки порядка

Поэтому Учитывая, что найдем оценку границы относительной погрешности Число обусловленности растет с уменьшением . В случае, когда в результате вычислений будут получены значения Здесь и происходит полная потеря точности.

Если алгоритм, предназначенный для решения хорошо обусловленной задачи, оказался плохо обусловленным, то его следует признать неудовлетворительным и попытаться построить более качественный алгоритм. В примерах 3.30 и 3.31 это удалось сделать сравнительно легко.

Однако для плохо обусловленных задач дело обстоит иначе. Ключ к пониманию дает следующее высказывание [67]: "Если задача плохо обусловлена, то никакие усилия, потраченные на организацию изощренных вычислений, не могут дать правильных ответов, исключая случайности" Здесь требуется серьезное переосмысление постановки вычислительной задачи.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление