Главная > Математика > Вычислительные методы для инженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Обусловленность задачи вычисления интеграла ...

Как следует из оценки (3.3), в этом случае абсолютное число обусловленности имеет вид . Если же перейти к рассмотрению относительных погрешностей и положить для тех, х, где то используя неравенство

получим оценку

в которой

Если подынтегральная функция знакопостоянна, то и задача хорошо обусловлена. Если же функция на принимает значения разных знаков, то Для некоторых сильно колеблющихся (осциллирующих) около нуля функций может оказаться, что и тогда задача вычисления интеграла является плохо обусловленной.

Иногда причиной появления плохо обусловленных задач становится отсутствие у пользователя ЭВМ элементарного представления об их существовании. В связи с этим заметим, что в последнее время получает развитие опасная тенденция пренебрежительного отношения к математическим знаниям вообще и к знанию вычислительной математики, в частности. Вера в могущество ЭВМ и надежность стандартных программ бывает так велика, что считается совсем ненужным знать о вычисляемой математической величине что-либо кроме ее определения и, возможно, геометрического или физического смысла. Приведем простой пример, иллюстрирующий оценку (3.9) и заодно показывающий, что иногда аналитическая выкладка бывает эффективнее, чем применение самого современного компьютера.

Пример 3.12. Пусть в распоряжении пользователя имеется высокопроизводительная ЭВМ и стандартная программа для вычисления интегралов вида

Предположим, что нужно вычислить коэффициенты Фурье для функции при Использование для вычисления указанной стандартной программы при автоматически означает, что ставится вычислительная задача, рассмотренная выше. При этом величина относительной погрешности вычисляемой на ЭВМ функции заведомо не может быть меньше ем.

Оценим величину Заметим, что функция нечетная и,

следовательно, интеграл от нее равен нулю. Поэтому возможно аналитическое вычисление интеграла:

Кроме того, и поэтому

Таким образом, Если вычисляется, например, при Следовательно, для этих значений параметров принятое решение о вычислении интеграла по простейшей стандартной программе может обойтись в потерю примерно 6 значащих цифр результата. Если вычисления ведутся на ЭВМ, имеющей лишь порядка 7 десятичных значащих цифр, то возможна катастрофическая потеря точности. Заметим, что в этих рассуждениях никак не учтены погрешность реализованного в программе метода и вычислительная погрешность, наличие которых усугубляет ситуацию.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление