Главная > Математика > Вычислительные методы для инженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3.2. Обусловленность вычислительной задачи

1. Определения.

Пусть вычислительная задача корректна (ее решение существует, единственно и устойчиво по входным данным). Теоретически наличие у задачи устойчивости означает, что ее решение может быть найдено со сколь угодно малой погрешностью, если только гарантировать, что погрешности входных данных достаточно малы. Однако на практике погрешности входных данных не могут быть сделаны сколь угодно малыми, точность их ограничена. Даже то, что исходные данные нужно будет ввести в ЭВМ, означает, что их относительная точность будет заведомо ограничена величиной порядка (см. § 2.5). В реальности, конечно, уровень ошибок в исходной информации будет существенно выше. Как же повлияют малые, но конечные погрешности входных данных на решение, как сильно способны они исказить желаемый результат? Для ответа на этот вопрос введем новые понятия.

Под обусловленностью вычислительной задачи понимают чувствительность ее решения к малым погрешностям входных данйых. Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям входных данных отвечают малые погрешности решения, и плохо обусловленной, если возможны сильные изменения решения.

Часто оказывается возможным ввести количественную меру степени обусловленности вычислительной задачи — число обусловленности. Эту величину можно интерпретировать как коэффициент возможного возрастания погрешностей в решении по отношению к вызвавшим их погрешностям входных данных.

Пусть между абсолютными погрешностями входных данных х и решения у установлено неравенство

Тогда величина называется абсолютным числом обусловленности. Если же установлено неравенство

между относительными ошибками данных и решения, то величину называют относительным числом обусловленности. В неравенствах (3.5), (3.6) вместо погрешностей и 5 могут фигурировать их границы и 6. Обычно под числом обусловленности и задачи понимают одну из величин или причем выбор бывает ясен из смысла задачи.

Чаще все же под числом обусловленности понимают относительное число обусловленности. Для плохо обусловленной задачи . В некотором смысле неустойчивость задачи — это крайнее проявление плохой обусловленности, отвечающее значению Конечно, это максимальный коэффициент возможного возрастания уровня ошибок, и для конкретных исходных данных действительный коэффициент возрастания может оказаться существенно меньше. Однако при выводе оценок (3.5) и (3.6) стремятся к тому, чтобы не завышать значений и поэтому соотношение все же свидетельствует о реальной возможности существенного роста ошибок. Грубо говоря, если где относительное число обусловленности, то порядок показывает число верных цифр, которое может быть утеряно в результате по сравнению с числом верных цифр входных данных.

Каково то значение и, при котором следует признать задачу плохо обусловленной? Ответ на этот вопрос существенно зависит, с одной стороны, от предъявляемых требований к точности решения и, с другой — от уровня обеспечиваемой точности исходных данных. Например, если требуется найти решение с точностью 0.1%, а входная информация задается с точностью 0.02%, то уже значение сигнализирует о плохой обусловленности. Однако (при тех же требованиях к точности результата) гарантия, что исходные данные задаются с точностью не ниже 0.0001%, означает, что и при задача хорошо обусловлена.

С простым, но очень важным примером плохо обусловленной задачи мы уже познакомились в § 2.3. Это задача вычитания приближенных чисел одного знака. Оценка (2.10) дает для нее значение

относительного числа обусловленности Так как в примере 2.11 имеем , то потеря пяти верных значащих цифр здесь не представляется удивительной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление