Главная > Математика > Вычислительные методы для инженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 15.6. Дополнительные замечания

1. В этой главе метод конечных разностей и метод конечных элементов рассматривались только лишь применительно к решению двухточечных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Значительно более широкую область применения этих методов представляют собой различные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных. Ограниченный объем книги не позволяет отразить здесь богатство существующих подходов и разнообразие используемых приемов. Тем, кто интересуется решением уравнений в частных производных с помощью метода конечных разностей, рекомендуем первоначально обратиться к учебникам [43], [60], [71], а затем — к книгам [54], [70].

Как доступное введение в метод конечных элементов, можно рекомендовать книги [3], [27], [57], [75]. В дальнейшем следует обратиться к [35], [36], [55], [73], [85].

2. Так как мы рассматривали краевые задачи только для обыкновенных дифференциальных уравнений, то тем самым фактически лишили себя возможности обсуждать достоинства и недостатки метода конечных разностей и метода конечных элементов в их сравнении между собой. Ограничимся лишь констатацией того, что для решения дифференциальных уравнений существуют два мощных метода, каждый из которых не обладает, вообще говоря, безусловным преимуществом над другим. Тем не менее отметим, что нередко наиболее эффективными оказываются именно те приближенные методы, которые сочетают в себе достоинства обоих методов.

3. При математическом моделировании различных физических явлений часто приходится решать краевые задачи, в которых дифференциальные уравнения или краевые условия являются нелинейными. Примером может служить дифференциальное уравнение описывающее установившееся распределение тепла в стержне, теплофизические характеристики которого зависят от температуры и. Для решения таких задач широко используются метод конечных разностей и метод конечных элементов. Возникающие здесь дискретные краевые задачи нелинейны и требуют для вычисления решений использования специальных итерационных методов.

4. В последние десятилетия было осознано, что решение проблемы численного решения дифференциальных уравнений основано на использовании специальных методов теории приближения функций. Однако глубокая связь между проблемой аппроксимации функций и проблемой решения дифференциальных уравнений осталась за рамками данной книги. Отметим лишь, что приближенное решение полученное с помощью проекционно-разностной схемы (15.81), (15.82), представляет собой линейный сплайн.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление