Вычислительные методы для инженеров

  

Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. — М.: Высш. шк., 1994. — 544 с.

В книге рассматриваются вычислительные методы, наиболее часто используемые в практике инженерных и научно-технических расчетов: методы решения задач линейной алгебры и нелинейных уравнений, проблема собственных значений, методы теории приближения функций, численное дифференцирование и интегрирование, поиск экстремумов функций, решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Значительное внимание уделяется особенностям реализации вычислительных алгоритмов на ЭВМ и оценке достоверности полученных результатов. Имеется большое количество примеров и геометрических иллюстраций.

Для студентов и аспирантов технических вузов, а также для инженеров и научных работников, применяющих вычислительные методы.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ ЭВМ
§ 1.2. Основные этапы решения инженерной задачи с применением ЭВМ
§ 1.3. Вычислительный эксперимент
§ 1.4. Дополнительные замечания
Глава 2. ВВЕДЕНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНУЮ ТЕОРИЮ ПОГРЕШНОСТЕЙ
§ 2.1. Источники и классификация погрешностей результата численного решения задачи
§ 2.2. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности
2. Правила записи приближенных чисел.
3. Округление.
§ 2.3. Погрешности арифметических операций над приближенными числами
§ 2.4. Погрешность функции
§ 2.5. Особенности машинной арифметики
2. Представление целых чисел.
3. Представление вещественных чисел.
4. Арифметические операции над числами с плавающей точкой.
5. Удвоенная точность.
6. Вычисление машинного эпсилон.
§ 2.6. Дополнительные замечания
Глава 3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
§ 3.2. Обусловленность вычислительной задачи
2. Примеры плохо обусловленных задач.
3. Обусловленность задачи вычисления значения функции одной переменной.
4. Обусловленность задачи вычисления интеграла ...
5. Обусловленность задачи вычисления суммы ряда.
§ 3.3. Вычислительные методы
§ 3.4. Корректность вычислительных алгоритмов
§ 3.5. Чувствительность вычислительных алгоритмов к ошибкам округления
§ 3.6. Различные подходы к анализу ошибок
§ 3.7. Требования, предъявляемые к вычислительным алгоритмам
§ 3.8. Дополнительные замечания
Глава 4. МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 4.2. Обусловленность задачи вычисления корня
§ 4.3. Метод бисекции
§ 4.4. Метод простой итерации
§ 4.5. Обусловленность метода простой итерации
§ 4.6. Метод Ньютона
§ 4.7. Модификации метода Ньютона
§ 4.8. Дополнительные замечания
Глава 5. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
§ 5.2. Нормы вектора и матрицы
§ 5.3. Типы используемых матриц
§ 5.4. Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений
§ 5.5 Метод Гаусса
§ 5.6. Метод Гаусса и решение систем уравнений с несколькими правыми частями, обращение матриц, вычисление определителей
§ 5.7. Метод Гаусса и разложение матрицы на множители. LU-разложение
§ 5.8. Метод Холецкого (метод квадратных корней)
§ 5.9. Метод прогонки
§ 5.10. QR-разложение матрицы. Методы вращений и отражений
§ 5.11. Итерационное уточнение
§ 5.12. Дополнительные замечания
Глава 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
§ 6.1. Метод простой итерации
§ 6.2. Метод Зейделя
§ 6.3. Метод релаксации
§ 6.4. Дополнительные замечания
Глава 7. МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 7.2. Метод простой итерации
§ 7.3. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений
7.4. Модификации метода Ньютона
§ 7.5. О некоторых подходах к решению задач локализации и отыскания решений систем нелинейных уравнений
§ 7.6. Дополнительные замечания
Глава 8. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
§ 8.2. Степенной метод
§ 8.3. Метод обратных итераций
§ 8.4. QR-алгоритм
§ 8.5. Дополнительные замечания
Глава 9. МЕТОДЫ ОДНОМЕРНОЙ МИНИМИЗАЦИИ
§ 9.2. Обусловленность задачи минимизации
§ 9.3. Методы прямого поиска. Оптимальный пассивный поиск. Метод деления отрезка пополам. Методы Фибоначчи и золотого сечения
§ 9.4. Метод Ньютона и другие методы минимизация гладких функций
§ 9.5. Дополнительные замечания
Глава 10. МЕТОДЫ МНОГОМЕРНОЙ МИНИМИЗАЦИИ
§ 10.1. Задача безусловной минимизации функции многих переменных
§ 10.2. Понятие о методах спуска. Покоординатный спуск
§ 10.3. Градиентный метод
§ 10.4. Метод Ньютона
§ 10.5. Метод сопряженных градиентов
§ 10.6. Метода минимизации без вычисления производных
§ 10.7. Дополнительные замечания
Глава 11. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ
§ 11.2. Интерполяция обобщенными многочленами
§ 11.3. Полиномиальная интерполяция. Многочлен Лагранжа
§ 11.4. Погрешность интерполяции
§ 11.5. Интерполяция с кратными узлами
§ 11.6. Минимизация оценки погрешности интерполяции. Многочлены Чебышева
§ 11.7. Конечные разности
§ 11.8. Разделенные разности
§ 11.9. Интерполяционный многочлен Ньютона. Схема Эйткена
§ 11.10. Обсуждение глобальной полиномиальной интерполяции. Понятие о кусочно-полиномиальной интерполяции
§ 11.11. Интерполяция сплайнами
§ 11.12. Понятие о дискретном преобразовании Фурье и тригонометрической интерполяции
§ 11.13. Метод наименьших квадратов
§ 11.14. Равномерное приближение функций
§ 11.15. Дробно-рациональные аппроксимации и вычисление элементарных функций
§ 11.16. Дополнительные замечания
Глава 12. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
§ 12.1. Простейшие формулы численного дифференцирования
§ 12.2. О выводе формул численного дифференцирования
§ 12.3. Обусловленность формул численного дифференцирования
§ 12.4. Дополнительные замечания
Глава 13. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
13.2. Квадратурные формулы интерполяционного типа
§ 13.3. Квадратурные формулы Гаусса
§ 13.4. Апостериорные оценки погрешности. Понятие об адаптивных процедурах численного интегрирования
§ 13.5. Вычисление интегралов в нерегулярных случаях
§ 13.6. Дополнительные замечания
Глава 14. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 14.1. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
§ 14.2. Численные методы решения задачи Коши. Основные понятия и определения
§ 14.3. Использование формулы Тейлора
§ 14.4. Метод Эйлера
§ 14.5. Модификации метода Эйлера второго порядка точности
§ 14.6. Методы Рунге-Кутты
§ 14.7. Линейные многошаговые методы. Методы Адамса
§ 14.8. Устойчивость численных методов решения задачи Коши
§ 14.9. Неявный метод Эйлера
§ 14.10. Решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений m-го порядка
§ 14.11. Жесткие задачи
§ 14.12. Дополнительные замечания
Глава 15. РЕШЕНИЕ ДВУХТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
§ 15.1. Краевые задачи для одномерного стационарного уравнения теплопроводности
§ 15.2. Метод конечных разностей: основные понятия
§ 15.3. Метод конечных разностей: аппроксимации специального вида
§ 15.4. Понятие о проекционных и проекционно-разностных методах. Методы Ритца и Гадеркина. Метод конечных элементов
§ 15.5. Метод пристрелки
§ 15.6. Дополнительные замечания