Главная > Математика > Методы вычислений, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей

Замена дифференциального оператора разностным может быть использована не только при решении задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, но и при решении краевых задач. Пусть дано дифференциальное уравнение

и нам требуется найти его решение, удовлетворяющее одному из условий следующего вида:

или

или

Будем предполагать, что выполнены все условия, обеспечивающие существование такого решения.

Разобьем отрезок на равных частей точками

Эти точки будем называть узлами. В каждом из узлов заменим производные через комбинацию значений функции в некоторых узлах по формулам численного дифференцирования. Получим систему уравнений относительно Присоединяем к ним уравнения, получающиеся из краевых условий. Будем иметь уравнений относительно Решаем эту систему и находим приближенные значения искомого решения в узлах

Применение такого метода требует решения следующих вопросов:

1. Нужно выбрать формулы численного дифференцирования, достаточно хорошо аппроксимирующие производные и не выводящие нас за пределы промежутка.

2. Проверить разрешимость системы и указать метод ее решения.

3. Дать оценку точности полученных результатов.

Первый вопрос несложен. В главе 3 мы дали много формул численного дифференцирования. Нужно только заметить, что применение более точных формул может усложнить систему, а применение менее точных формул потребует введения большого числа узлов и тем самым увеличения числа уравнений системы.

1. Метод конечных разностей решения краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

Рассмотрим, как решаются второй и третий вопросы для уравнения

Заменим вторую производную в узле выражением

При этом получим систему линейных алгебраических уравнений

Если наши краевые условия имеют вид (2), то к уравнениям (8) еще добавятся

Если наши краевые условия имеют вид (4), то добавляем к (8) еще два уравнения:

Полученная система линейных алгебраических уравнений будет разрешима при любых если соответствующая однородная система имеет только тривиальное решение. Обозначим

Пусть дана произвольная система чисел: докажем, что если при любых то наибольшим положительным числом среди может быть только или

Действительно, пусть наибольшее положительное число из такое, что по крайней мере одно из чисел или меньше Если бы наше утверждение было неверно, то такое обязательно нашлось. По предположению

Если заменить здесь на то мы увеличим левую часть. Таким образом,

Но это невозможно, ибо и

Точно так же доказывается, что если мы имеем систему чисел для которой то наименьшим отрицательным числом среди них может быть только или

Теперь мы в состоянии доказать, что система (8) при краевых условиях (9) имеет только тривиальное решение, если Действительно, если бы она имела нетривиальное решение, то среди чисел нашлось бы или наименьшее отрицательное или наибольшее положительное, а это противоречит только что доказанным утверждениям. Докажем теперь то же самое для системы (8) с граничными условиями (10) при

В граничных условиях (10) будем предполагать, что и по крайней мере одно из этих чисел отлично от нуля. Исключая уравнений

находим

Совершенно так же найдем:

Пусть Теперь имеется какая-то система чисел удовлетворяющая нашей однородной системе, такая, что не все равны нулю. Опять приходим к выводу, что наибольшее положительное из них или наименьшее отрицательное могут быть только на концах. Пусть будет наибольшим положительным значением.

Будем предполагать, что настолько мало, что Из

равенства (16) следует, что Так как в силу нашего предположения не может быть то Но тогда из доказанных нами утверждений следует, что все равны друг другу. При этом из (8) и (10) при следует, Таким же образом доказывается, что среди чисел нет наименьшего отрицательного.

Решение системы (8) не встречает затруднений, поэтому мы этого касаться здесь не будем

Перейдем к оценке погрешности. Будем рассматривать только граничные условия вида (9).

Докажем сначала еще одно утверждение. Если в узловых точках даны две системы значений такие, что

а на границе

то при всех I будет

Действительно, из (18) следует:

а из

Поэтому, в силу доказанных на стр. 373—374 утверждений, имеем (20).

Будем, как обычно, обозначать через у, точное значение решения дифференциального уравнения (6) и через приближенное решение, полученное путем решения системы (8). Через обозначаем разность

Величины удовлетворяют системе

где есть погрешность, вызванная заменой второй производной формулой численного дифференцирования (7), и может быть оценена как

Рассмотрим систему удовлетворяющую условиям:

В силу только что доказанного утверждения будем иметь гц, Мы еще увеличим наши величины, если будем рассматривать значения, удовлетворяющие системе

Итак, Решение системы (27) находится без труда. Действительно, уравнение (27) говорит о том, что вторая разность величин постоянна. Таким образом, величины можно рассматривать как значения некоторого многочлена второй степени в точках Этот многочлен имеет вид

Максимальное значение многочлена (28) на отрезке достигаегся в точке и оно равно

Таким образом,

Если решение имеет ограниченную четвертую производную, то из (30) следует, что при

Недостатком этой оценки, как и всех аналогичных оценок, является то, что в нее входит четвертая производная от искомого решения, которую обычно бывает трудно оценить.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление