Главная > Математика > Методы вычислений, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Метод неопределенных коэффициентов вывода разностных формул.

Можно и не прибегать к помощи интерполирования для лолучення формул (37), а воспользоваться методом неопределенных коэффициентов. Разложим по формуле Тейлора до членов с производными порядка Получим:

Потребуем, чтобы после подстановки (38) и (39) в (37) коэффициенты при в правой и левой частях полученного равенства были бы равны для произвольной функции Это даст нам следующие равенства:

Всего имеем однородных линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных Таким образом, максимальное значение равно Ошибка метода на одном шаге или локальная ошибка метода будет определяться разностью между левой и правой частями. Член с наименьшей степенью в этой

разности будет равен

Можно было бы ожидать, что чем больше будет тем точнее будет формула (37). Однако это не всегда так в связи с возникающими при вычислениях по этой формуле погрешностями округления.

Выведенные нами ранее формулы будут являться частными случаями формулы (37). Приведем таблицу значений для этих формул:

(см. скан)

Уже этот обзор формул дает основания ожидать, что интерполяционные формулы дают лучшую точность, чем экстраполяционные.

Найдем теперь несколько формул типа (37) методом неопределенных коэффициентов. Условимся называть формулу (37) разностным уравнением или уравнением в конечных разностях. Число назовем порядком этого уравнения, а число —степенью. Попробуем найти формулу второго порядка, экстраполяционного типа, имеющую степень 3. Тогда Коэффициент без уменьшения общности можно считать равным единице. При этом уравнения (40) и (41) примут вид

Уравнения системы (44) дадут Далее, получим Таким образом, искомая формула примет вид

Найдем теперь при формулу интерполяционного типа, имеющую Уравнения (40) и примут вид (опять полагаем

В этом случае последние три уравнения дадут Из остальных уравнений получаем Мы снова пришли к формуле (35).

Можно рассматривать и более сложные разностные уравнения:

К формулам такого типа мы придем, например, если в качестве будем брать интерполяционный многочлен Эрмита.

Применять формулы типа (47) удобно лишь в тех случачх, когда производные от легко находятся и легко вычисляются. Можно еще усложнить (47), включив туда производные более высоких порядков.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление