Главная > Математика > Методы вычислений, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1. Некоторые экстраполяционные формулы для интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка.

Рассмотрим некоторые частные случаи разностных формул. Возьмем и запишем в виде интерполяционного многочлена Ньютона для интерполирования назад:

Тогда

Здесь

Дальнейшие значения для коэффициентов будут

Таким образом, формула (8) примет вид

Целесообразно ввести в рассмотрение величины Тогда формулу (11) можно переписать в виде

Эта формула носит название экстраполяционной формулы Адамса. Схема для вычислений и по экстраполяционной формуле Адамса будет выглядеть так:

(см. скан)

Предполагая, что третьи разности почти постоянны, можно ограничиться первыми четырьмя членами формулы (12). По известным значениям находим

Затем по формуле Адамса находим значение прибавляя его к находим у Это позволит нам продвинуться в таблице значений и ее разностей на один шаг вниз и получить по формуле Адамса еще одно значение

Иногда бывает целесообразно выражать значения непосредственно через Для этого выразим разности, входящие в формулу (12), через значения у. Получим:

Если ограничиться одним членом правой части, то придем снова к формуле Эйлера

Два члена правой части дадут

Три члена правой части дадут формулу

Четыре члена правой части приведут к

Возьмем теперь качестве снова интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования назад (7). При этом

получим:

Здесь

Если ограничиться разностями до четвертого порядка и взять в качестве коэффициента при четвертой разности вместо число т. е. изменить этот коэффициент всего лишь на то получим особенно простую для вычислений формулу:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление