Главная > Математика > Методы вычислений, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Метод Рунге — Кутта решения систем дифференциальных уравнений первого порядка.

Метод Рунге — Кутта без труда переносится на системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для сокращения записей ограничимся системой двух уравнений:

и будем разыскивать ее решение, удовлетворяющее начальным условиям Как и ранее, образуем функции

где

Задача опять будет заключаться в подборе постоянных чтобы разложения функций

по степеням начинались с возможно более высоких степеней Введем операторы

Как и ранее, получим:

Используя (146) и формулы, аналогичные (7), получим:

Далее, вводим операторы

Очевидно

Заметим также, что

Операторы зависят от параметра Их значение при будет отмечать чертой сверху

Используя свойства операторов находим (при )

(см. скан)

Члены в фигурных скобках для нас сейчас значения иметь не будут. Таким образом

Аналогично получим:

При будем иметь:

Будем получать формулы Рунге — Кутта, имеющие порядок погрешности на одном шаге Для этого необходимо, чтобы функции

обладали свойством

Равенство нулю первых производных даст

Из следует:

Приравнивая нулю третьи производные, получим:

Наконец, равенство нулю четвертых производных даст

(см. скан)

Из полученных равенств теми же рассуждениями, которые применялись для одного уравнения, покажем, что наши постоянные удовлетворяют следующей системе уравнений:

(см. скан)

Проанализируем теперь систему (164). Возьмем 11, 15, 16 и 17-е уравнения системы в левом столбце. Легко видеть, что эти. уравнения эквивалентны системе уравнений

Четыре соответствующих уравнения правого столбца будут эквивалентны системе

Таким образом, вместо восьми исходных уравнений можно взять шесть следующих:

Используя равенства (168), мы получим из 8-х и 9-х уравнений (164):

Тринадцатые уравнения (164) будут являться следствиями 9-х уравнений и (169). Исключая из 10, 11 и 14-го уравнений и используя (169), найдем:

Уравнения (170) не являются независимыми, так как по (168)

и, следовательно, опять по (168)

Кроме того,

Таким образом, достаточно взять одно из уравнений (170), например первое. Оказывается и оно является следствием предыдущих. Действительно, если рассматривать первые 11 уравнений (164) как систему для определения то должно быть выполнено четвертое из соотношений (130). Точно так же, если рассматривать эти уравнения как систему для определения то должно быть выполнено соответствующее соотношение

Последовательно упрощая первое из уравнений (170) и используя при этом (168) и указанные соотношения, мы придем в конце концов к тождеству

Итак, искомые постоянные должны удовлетворять 1—11 уравнениям (164) и, кроме того, (168) и (169). Проще всего решать полученную систему следующим образом. Находим так, как это указывалось ранее. Таким же образом находим Затем последовательно получаем и используя первые три строки (164), (168) и (169). Это даст

Проще всего просто положить Легко видеть, что это не противоречит нашей системе. Так, например, можно пользоваться формулами:

где

Последний вывод можно применись для произвольных систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление