Главная > Математика > Методы вычислений, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Схема без обратного хода.

Приведем еще одну схему исключения, при которой вообще не требуется обратного хода. Пусть дана система уравнений

Рассмотрим матрицу

Подберем постоянные так, чтобы после умножения первой строки матрицы на второй на на и

сложения их с последней строкой в этой последней все элементы, кроме крайнего правого, обратились бы в нули. Таким образом, должны удовлетворять системе уравнений

Умножая обе части последних равенств последовательно на где решение исходной системы, и складывая их, получим:

Но выражения в скобках равны последовательно Таким образом,

т. е. правый крайний элемент последней строки будет равен Совершенно аналогично, если бы мы взяли —1 во втором столбце последней строки, то крайний правый элемент последней строки стал бы равен Такие же рассуждения можно провести, беря —1 в любом из первых столбцов. Рассмотрим теперь клеточную матрицу

где - матрица коэффициентов системы, столбец свободных членов, - единичная матрица и столбец нулей. Пусть нам удалось путем прибавления к последним строкам этой матрицы линейных комбинаций первых строк сделать минус единичную матрицу нулевой. Тогда в силу наших рассуждений нулевой столбец обратится в столбец неизвестных Схема, которую мы сейчас проиллюстрируем на том же примере, и будет реализацией указанного процесса. За основу будет взята схема Гаусса с выбором главного элемента. Будем называть данную схему схемой без обратного хода.

(см. скан)

Значения неизвестных, содержащиеся в последних четырех строках. близки к найденным ранее. При решении системы уравнений по схеме без обратного хода с контрольным столбцом требуется произвести

операций умножения и деления.

Приведенная схема допускает очевидные обобщения. Так, если вместо (38) взять

где q - произвольная квадратная матрица и произвольный столбец, то действуя по схеме без обратного хода, мы получим на месте столбца столбец Если же рассмотреть матрицу

где в — произвольная матрица и матрица нулей, то нашим процессом мы придем к матрице . В частности, если взять матрицу

то мы придем к матрице

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление