Главная > Математика > Методы вычислений, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Метод Л. А. Люстерника.

Пусть теперь нам известно (приближенно) наибольшее по модулю собственное значение а матрицы В.

Будем сначала предполагать, что оно действительно, единственно и что матрица В имеет простую структуру. Разложим по собственным векторам матрицы В:

Тогда

и

При достаточно большом будем иметь приближенные равенства

Таким образом, можно ожидать, что вектор

будет ближе к точному решению чем Оценим порядок ошибки предполагая, что где — следующее за по величине модуля собственное значение В. Если ввести матрицу

то, с одной стороны, а с другой стороны, используя (25), имеем:

откуда получим:

Поэтому

Так как по (27) порядок равен то улучшение сходимости будет тем больше, чем меньше отношение Если

близко к 1, то целесообразно вместо формулы (28) использовать

Вывод этой формулы аналогичен выводу формулы (28). Метод применим и в том случае, когда кратное собственное значение. Пусть теперь комплексное число. Если матрица В действительна, то существует и комплексно-сопряженное собственное значение Обозначим соответствующие этим собственным значениям комплексно-сопряженные собственные векторы через Тогда при больших значениях будем иметь приближенное равенство

Далее, из

находим:

Таким образом, можно взять

Величины и можно, например, найти как коэффициенты квадратного уравнения, о котором говорилось в предыдущем параграфе. Можно использовать и два наибольших по модулю собственных значения. При этом будет применима формула, аналогичная (36). Приведенный метод был предложен Люстерником.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление