Главная > Математика > Методы вычислений, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Метод М. К. Гавурина.

Можно подойти к вопросу об ускорении сходимости и несколько иначе. Пусть итерационная формула (2) уже построена. Начиная с некоторого построим по формуле (2) векторы Поставим следующую задачу: подобрать коэффициенты так, чтобы линейная комбинация

возможно лучше приближала точное решение системы (1). Будем предполагать, что матрица В имеет простую структуру и что все ее собственные значения действительны. Обозначим собственные векторы В через и запишем разложение по векторам в виде

При этом

Точное решение х может быть записано в виде

Таким образом, разность между точным решением (18) и приближенным (15) представится так:

где через обозначен многочлен

Очевидно, наша задача сводится к тому, чтобы сделать величины, стоящие в квадратных скобках (19), возможно меньшими. Пусть нам известна верхняя граница модулей собственных значений В. Тогда надо выбрать многочлен так, чтобы он на отрезке наилучшим образом аппроксимировал функцию Решение этой задачи также сводится к многочленам Чебышева, наименее уклоняющимся от нуля. Можно показать (см. упражнения к главе 4), что

где

Применяя этот метод, предложенный Гавуриным, мы можем производить несколько итераций по формуле (2) и затем улучшать полученные результаты, используя многочлен

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление