Главная > Математика > Методы вычислений, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Ускорение сходимости итерационных процессов при решении задач линейной алгебры

В шестой главе были рассмотрены итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений и в предыдущем параграфе рассмотрены итерационные методы отыскания собственных значений матриц. На практике часто случается, что при применении этих методов нужно произвести очень много итераций для получения

результата с требуемой точностью. В связи с этим возникает необходимость применять те или иные методы ускорения сходимости. В этом параграфе мы и рассмотрим некоторые из методов ускорения сходимости для указанных выше задач.

1. Ускорение сходимости итерационного метода решения систем линейных алгебраических уравнений. Общие замечания.

Стационарный итерационный метод решения системы линейных алгебраических уравнений

можно записать в виде

где такие матрицы, что

(см. главу 6). Из (2) следует

или

Обозначим максимум модуля собственных значений матрицы В через Пусть наивысшая степень элементарного делителя, соответствующего наибольшему по модулю собственному значению. Тогда из формулы (94) предыдущего параграфа следует, что при больших значениях будет иметь место асимптотическое равенство

В связи с этим будем численно характеризовать скорость сходимости итерационного процесса (2) величиной

При этом скорость сходимости будет примерно обратно пропорциональна числу итераций, необходимых для получения решения с заданной точностью.

Систему (1) можно бесчисленным множестпом способов привести к виду (2). В силу изложенного это нужно делать так, чтобы максимум модуля собственных значений матрицы В был возможно меньшим. Рассмотрим случай, когда где некоторые многочлены. Условие (3) в данном случае примет вид

Если обозначить собственные значения матрицы А через то для сходимости итерационного процесса (2) нужно потребовать

Предположим теперь, что все собственные значения матрицы А действительны и расположены на отрезке где Постараемся использовать эту информацию для наилучшего выбора многочлена Прежде всего в силу (8) для должно быть выполнено условие

Многочлен должен иметь наименьший максимум модуля на отрезке среди всех многочленов данной степени удовлетворяющих условию (10). Мы уже решили такую задачу в главе 6. Искомый многочлен будет равен

где многочлены Чебышева, наименее уклоняющиеся от нуля. При этом

и сходимость обязательно будет иметь место. В простейшем случае можно взять в качестве многочлен первой степени. Он должен иметь вид

При

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление