Главная > Математика > Методы вычислений, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Отыскание других собственных значений и соответствующих им собственных векторов для симметрических матриц.

Используем теперь векторы для отыскания других собственных значений. Обозначим 1-ю компоненту вектора через Если единичные векторы направленные по осям координат, представить в виде

то будем иметь:

или

где обозначено

Составим определитель

Воспользовавшись равенствами (31), получим:

где многоточием обозначены остальные члены, содержащие . Таким образом,

Аналогично найдем:

Отсюда

Пусть превышают по модулю остальные значения Тогда

Аналогично можно получить произведение трех и большего числа собственных значений. Так, если превышают по модулю остальные собственные значения, то

где

Нужно отметить, что при больших к строки написанных выше определителей почти пропорциональны. Следовательно, сами определители будут близки к нулю. Это приведет к большой вычислительной ошибке. Если же ограничиваться небольшими значениями к, то получим большую ошибку метода. Вследствие этих причин можно найти с небольшой точностью.

В связи с этим рассмотрим еще один метод отыскания промежуточных собственных значений в случае, когда А есть симметрическая матрица. После того как найдены, возьмем вместо А новую матрицу:

где под понимается произведение вектора-столбца с компонентами и вектора-строки с теми же компонентами по правилу умножения матриц. также симметрическая матрица. При этом

так как

В то же время

так как векторы ортогональны при Таким образом, матрица будет иметь те же собственные значения и собственные векторы, что и А, за исключением Вместо матрица будет иметь собственное значение 0, и ему соответствует собственный вектор После того как будут найдены можно дальше повторить этот процесс, и мы найдем, в конце концов, все и При этом можно каждый раз понижать порядок матрицы. Пусть Обозначим

я рассмотрим матрицу

где некоторая постоянная. Произведение будет равно

Таким образом, если взять то все элементы первой

и

строки (47) обратятся в нуль, кроме левого крайнего, который будет равен единице. В силу симметрии матрицы все элементы лервого столбца (47), кроме верхнего, будут нулями. Далее, при имеем:

Итак, Следовательно, имеет такие же собственные значения, что и А. Возьмем матрицу

Произведение равно Действительно, Таким образом, является собственным вектором матрицы соответствующим собственному значению Это может быть только в том случае, если имеет вид

Дальнейшие вычисления можно производить с симметрической матрицей имеющей собственные значения Если собственный вектор соответствующий собственному значению то из

следует:

и

Таким образом, будет собственным вектором А, соответствующим собственному значению В дальнейшем мы можем поступить с так же, как мы поступили с А.

Рассмотрим еще один способ получения Пусть уже найдены. Рассмотрим произвольный вектор и образуем

Этот вектор ортогонален Действительно,

так как Поэтому разложение у по векторам имеет вид

и

Таким образом, если при 3, то

Найдя можно искать следующее собственное значение и следующий собственный вектор, взяв за начальный вектор:

и т. д. Нужно только помнить, что при этом в связи с ошибками округления при итерациях будут появляться компоненты собственных векторов, соответствующих наибольшим по модулю собственным значениям матрицы А. Поэтому время от времени необходимо исключать такие компоненты по формулам (56), (61) или им подобным.

Промежуточные собственные значения можно также определить, если рассмотреть вместо матрицы А матрицу или где соответствующим образом подобранное число. В частности, если и -положительно определенная матрица, то итерация с матрицей даст наименьшее собственное значение. Можно использовать и многочлены более высокой степени относительно матрицы А.

Пример. Проиллюстрируем теперь наши рассуждения простым примером. Пусть матрица имеет вид

За начальный вектор примем . Итерации дадут:

(см. скан)

Отношения соответствующих компонент восьмой и седьмой итераций последовательно равны

Они уже достаточно близки. Более точное приближение для собственного значения мы получим, если поделим скалярный квадрат вектора, полученного при восьмой итерации, на скалярное произведение векторов, полученных при седьмой и восьмой итерациях. В результате получим:

Соответствующий нормированный собственный вектор будет иметь вид

При этом оказывается, что

и поправка по формуле (14) настоящего параграфа примет вид

Составим теперь определители (33) для нашего случая. Получим:

Остальные определители ничего нового не добавят. Отношение в данном случае равно

Определители в данном случае все равны нулю. Поэтому для отыскания следующих собственных значений применим преобразование матрицы А с помощью матрицы В (46). Вычисления дают:

и

Расхождения с теоретическими результатами получились за счет ошибок округления.

Теперь мы должны отыскивать собственные значения матрицы третьего порядка:

Получим их итерационным способом, начиная с вектора х (0, 0, 1). Итерированные векторы будут иметь следующие компоненты:

Отношения соответствующих компонент последних двух векторов равны последовательно 2,311; 2,687; 2,556. Приближенное значение будем находить, используя скалярные произведения так же, как и в предыдущем случае. При этом получим:

Обращаем внимание на то, что у нас получилось другое значение А, чем в первом случае. В данном случае это произошло благодаря тому, что начальный вектор при итерации с помощью матрицы А оказался ортогональным к собственному вектору Таким образом, фактически (68) дает не Точные значения собственных значений матрицы А с шестью десятичными знаками таковы:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление