Главная > Математика > Методы вычислений, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1. Видоизменение метода Данилевского.

Рассмотрим теперь одно видоизменение метода Данилевского. Опять для иллюстрации воспользуемся матрицей четвертого порядка (4). Вместо и возьмем теперь матрицы

и

Произведение С, 1 А равно

где

Умножение справа на С, даст

где

Следующим шагом будет являться умножение матрицы (25) на матрицу равную

и справа на матрицу

Первое умножение даст нам

где а находятся по формулам, аналогичным (24), а второе умножение приведет к

где находятся по формулам, аналогичным (26). Если еще раз повторить этот процесс и использовать матрицы

то мы придем к

В общем случае матрицы порядка мы после шагов придем к матрице

Характеристический многочлен матрицы (33) равен

Заметим, что в качестве можно взять произвольную матрицу вида

Это вызвало бы лишь добавление одного шага. В то же время удачным выбором последнего столбца (35) возможно уменьшить вычислительную погрешность. Можно показать, что выгодно брать в качестве последнего столбца (35) компоненты вектора, близкого к собственному вектору А, соответствующему наименьшему по модулю собственному значению. Описанное нами видоизменение метода Данилевского соответствует выбору последнего столбца (35) в виде

Обозначим через вектор, компоненты которого равны элементам последнего столбца матрицы (35), и через матрицу Тогда если то имеем:

Так как имеет вид (33), то из (37) следует, что каждый столбец получается из предыдущего путем умножения его на матрицу А. Первый столбец состоит из компонент вектора Следовательно, столбцы матрицы состоят соответственно из компонент векторов

Этим можно воспользоваться для отыскания собственных векторов матрицы А, как это было сделано в методе Крылова.

Как в исходном методе Данилевского, так и в данном нами видоизменении можно увеличить точность, выбирая в качестве элемента на который производится деление, наибольший по модулю

элемент соответствующей строки или столбца. Так, в видоизмененном методе Данилевского можно взять

где последний столбец совпадает с последним столбцом преобразуемой на данном этапе матрицы, наибольший по модулю элемент этого столбца. и единичные матрицы. Порядок должен быть больше, чем число столбцов преобразуемой матрицы, уже приведенных к нормальной форме Фробениуса.

В видоизмененном методе Данилевского, так же как и в исходном, процесс может привести к матрице вида

где матрица, имеющая нормальную форму Фробениуса. Это не вызовет никаких дополнительных затруднений, так как характеристический многочлен является делителем характеристического многочлена матрицы А, а остальную часть последнего характеристического многочлена можно получить, продолжая преобразования матрицы

Возможен следующий контроль метода Данилевского. Вместо А будем преобразовывать матрицу

где строка выбрана так, чтобы сумма элементов каждого столбца матрицы (41) была равна 1. Тогда если выбрать так, что сумма его компонент также равна 1, то сумма элементов каждого столбца всех преобразованных матриц будет равна 1.

Видоизмененный способ Данилевского несколько удобнее для вычисления на автоматических вычислительных машинах.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление