Главная > Математика > Методы вычислений, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Метод Лобачевского. Случай комплексных корней.

Рассмотрим теперь случай, когда уравнение имеет комплексные корни. Процесс квадрирования можно будет производить, как и раньше, только выводы о способе определения корней будут уже недействительны. Предположим пока, что мы имеем только пару комплексно-сопряженных корней:

Тогда после квадрирований получим уравнение, которое будет иметь пару комплексно-сопряженных корней:

Пусть, например, остальные корни будут расположены так:

Воспользуемся опять зависимостью между корнями и коэффициентами уравнения, полученного после квадрирований:

Если при этом

то

и мы можем найти все действительные корни и модуль пары комплексно-сопряженных корней. При этом все коэффициенты, кроме второго, ведут себя, как и раньше, т. е. стремятся к квадратам коэффициентов предыдущего уравнения, а ведет себя неправильно, возможно даже меняя свой знак. Последнее и служит признаком наличия пары комплексно-сопряженных корней. Легко заметить, что если модуль пары комплексных сопряженных корней заключен между то ведет себя неправильно коэффициент и мы точно также можем найти все действительные корни и модуль пары комплексно-сопряженных корней. Вообще, если уравнение имеет несколько пар комплексно-сопряженных корней и их модули различны и отличны от модулей действительных корней, то можно по тем же признакам определить, где они расположены, и найти действительные корни и модули всех комплексных корней.

Если мы имеем пару или две пары комплексно-сопряженных корней, то аргументы этих корней находятся также без труда.

Действительно, если имеется только пара комплексно-сопряженных корней то из исходного уравнения имеем:

В равенстве (14) нам не известен только и он может быть из Этого равенства найден. Если комплексных корней имеется две пары: то в уравнении следует заменить неизвестное на Тогда уравнение относительно у примет вид

И будет иметь корнями:

Следовательно,

что вместе с уравнением

определит Для трех пар комплексных корней можно использовать наряду с исходным уравнением и уравнением, полученным заменой х на еще уравнение, полученное после первого квадрирования. Для случая трех и более пар комплексных корней, так же как и для случаев, которые мы уже рассмотрели, можно воспользоваться следующим приемом. Поскольку мы знаем модуль пары комплексно-сопряженных корней то в трехчлене соответствующем этой паре, нам будет неизвестно только Но его можно найти из условия, что уравнение делится нацело на Проще йсего это сделать путем деления на Получится остаток вида где -многочлен степени относительно -многочлен степени Они должны обращаться в нуль при одном и том же значении Следовательно, они должны иметь общий делитель, который также можно найти путем деления.

Другой способ отыскания аргументов комплексных корней предложил Энке. Всегда можно считать, что уравнение имеет четную

степень, так как в противном случае его можно умножить на х. Запишем его в виде

и пусть модуль пары комплексных корней найден, так что корни будут:

После подстановки этих корней в уравнение и приравнивания действительной и мнимой частей нулю получим уравнение относительно

Умножим первое из уравнений (19) на второе на и сложим их почленно. Затем умножим первое из уравнений (19) на второе на и вычтем первое из второго. В результате получим:

где

Для того чтобы найти значения, удовлетворяющие обоим уравнениям (20), используем выражения для гаер и через

Полагая получим следующие уравнения для определения

Общий корень этих двух уравнений также находят простым делением.

Оба приведенных способа отыскания аргументов комплексных корней требуют громоздких вычислений. Рассмотрим пример.

Решить методом Лобачевского уравнение

Схема вычислений и результаты выглядят следующим образом.

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление