Главная > Математика > Методы вычислений, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Линейные полношаговые методы первого порядка

1. Сходимость линейных полношаговых методов первого порядка. Простая итерация.

Линейные полношаговые методы первого порядка определяются формулами (5) и (7) предыдущего параграфа. Исследуем сначала сходимость этих методов. Из формулы (5) следует:

Применяя формулу (1) при получим:

Следовательно,

Если стремится к нулю при то стремится к нулю при любом начальном векторе . Как мы видели в § 7, из этого будет следовать, что все компоненты будут стремиться к соответствующим компонентам Для того чтобы произведение норм матриц, стоящее в правой части (3), стремилось к нулю, достаточно потребовать

В частности, если процесс стационарен, т. е. не зависят от последнее условие означает, что какая-то из норм В меньше единицы. Однако для стационарного случая можно дать более точные условия, а именно докажем теорему: Стационарный линейный процесс

сходится при любом начальном векторе и любой правой части тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы В по модулю меньше единицы.

Действительно, легко проверить по индукции, что

Очевидно, последовательность

будет сходящейся для произвольного вектора в том и только в том случае, если сходится матричный ряд

Но при этом Следовательно, образуют сходящуюся последовательность при произвольных векторах в том и только в том случае, когда сходится ряд (8). Как мы видели, ряд (8) сходится в том и только в том случае, если все собственные значения матрицы В по модулю меньше единицы. Утверждение доказано.

Полученное нами условие хорошо при теоретических рассуждениях, так как точно отражает положение вещей. Однако оно неудобно для практических применений, ибо в большинстве случаев собственные значения нам неизвестны, а отыскание их представляет задачу более сложную, чем решение системы линейных алгебраических уравнений. В главе 8 мы дадим ряд способов оценки максимального по модулю собственного значения. Пока же будем использовать нормы матриц, данные в § 7, и неравенство При этом получим следующие три достаточных условия:

Пояснений требует только последнее условие. Оно обеспечивает, что норма равная наибольшему собственному значению матрицы не превышает единицы. Действительно, все собственные значения матрицы неотрицательны. Поэтому Но последняя сумма равна следу матрицы, который и равен

Изложенный метод часто называют простой итерацией.

Для применения простой итерации необходимо предварительное преобразование системы, заданной в виде к виду (5). Это можно сделать, например, так. Каждое из уравнений системы

делим на и переносим члены с в правую часть равенства. При этом уравнение примет вид

Для того чтобы этот прием был осуществим, коэффициенты должны быть отличны от Нуля. Кроме того, для обеспечения

сходимости требуется значительное преобладание диагональных элементов над остальными коэффициентами. Так, неравенства (9)-(11) будут выполнены, если для коэффициентов будут выполнены следующие неравенства:

Приведем пример решения системы методом простой итерации. Опять будем решать ту же систему, которую мы уже использовали в § 2 и 3. В верхней части схемы стоят коэффициенты преобразованной системы. Далее идет начальное приближение, в качестве которого взяты свободные члены преобразованной системы, и идут последующие приближения:

(см. скан)

Следует отметить, что ошибки, допущенные при вычислении, будут в дальнейшем исключены последующими приближениями. Однако при этом могут потребоваться лишние приближения.

Оценим теперь погрешность метода простой итерации. Для этого воспользуемся равенством

Так как

а

то

Отсюда

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление