Главная > Математика > Методы вычислений, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Сходимость последовательностей матриц и матричных рядов.

Перейдем теперь к вопросу о сходимости последовательности матриц. Будем говорить, что последовательность матриц сходится к матрице А, если для всех имеем Это равносильно условию Из этого определения следует, что если и то

Далее, если — некоторая неособенная постоянная матрица и то

Рассмотрим степенной ряд

Ему можно поставить в соответствие матричный ряд

Этот ряд будет называться сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм Найдем условия сходимости такого ряда. Имеет место теорема:

Для того чтобы степенной матричный ряд (60) сходился, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы А лежали внутри круга сходимости степенного ряда (59).

Доказательство. Приведем матрицу к нормальной форме Жордана при помощи некоторой неособенной матрицы Тогда

Для того чтобы имела предел, необходимо и достаточно, чтобы имело предел. Предел будет существовать тогда и только тогда, когда существуют все где «ящики» матрицы В. Пусть соответствует элементарному делителю Тогда

а

По индукции нетрудно доказать, что при

Отсюда

Для того чтобы была сходящейся последовательностью, необходимо и достаточно, чтобы были сходящимися последовательностями. Последнее будет выполнено в том и только в том случае, если лежат внутри круга сходимости ряда

Возьмем, в частности, ряд

Его радиус сходимости равен 1, и ряд расходится в каждой точке границы круга сходимости. Следовательно, имеет место теорема. Для того чтобы сходился матричный ряд

необходимо и достаточно, чтобы собственные значения матрицы А были по модулю меньше единицы.

Сделаем еще одно небольшое замечание. Пусть X — произвольное собственное значение матрицы Тогда имеется ненулевой вектор х такой, что

Следовательно,

Но Поэтому получаем т. е. любая норма матрицы больше или равна модулю произвольного собственного значения матрицы, т. е.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление