Главная > Математика > Методы вычислений, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Линейные операторы в конечномерном линейном нормированном пространстве и их связь с матрицами.

Пусть в -мерном линейном нормированном пространстве задан аддитивный оператор А. Пусть этот оператор переводит базисные элементы ( соответственно в элементы Тогда в силу аддитивности он должен переводить элемент в элемент где

Это можно записать в виде матричного равенства

Таким образом, каждому аддитивному оператору в п-мер ном линейном нормированном пространстве будет соответствовать квадратная матрица порядка Обратно, каждая квадратная матрица порядка определяет при помощи равенства (42) некоторое отображение -мерного пространства самого на себя. Нетрудно проверить, что это будет аддитивный оператор. Поэтому в дальнейшем мы часто будем отождествлять аддитивные операторы в -мерном пространстве с соответствующими им матрицами.

Так как множество элементов для которых образует замкнутое ограниченное множество то непрерывная функция компонент будет на нем ограничена. Таким образом, имеет место теорема: все аддитивные операторы на конечномерном линейном нормированном пространстве будут ограниченными. Поэтому в нашем случае в соответствии с вышеизложенным мы сможем ввести понятие нормы оператора или

нормы матрицы. Различным способам введения нормы элемента будут соответствовать различные определения нормы оператора или матрицы. Рассмотрим, как будут определяться нормы операторов или матриц для норм элементов, определенных равенствами (35) - (37).

Покажем, что если норма элемента определяется равенством (35), то норма А будет определяться

Действительно,

и если

Пусть достигается при Возьмем в качестве х элемент с компонентами при если Очевидно, При этом

Следовательно,

Утверждение доказано.

Для второй нормы будем иметь:

Пусть Тогда

Пусть достигается при Возьмем элемент х с компонентами при Очевидно, При этом

Для третьей нормы

где наибольшее собственное значение матрицы Покажем это. Пусть Имеем:

является симметрической неотрицательной матрицей. (Это значит, что для любого х скалярное произведение Известно, что все собственные значения такой матрицы, т. е. такие значения X, для которых существуют ненулевые х со свойством действительные неотрицательные числа Пусть собственные значения этой матрицы, соответствующие им ортонормированные действительные собственные векторы. При этом

где

Для будем иметь:

Таким образом, утверждение доказано.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление