Главная > Математика > Методы вычислений, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Приближенное решение уравнений Вольтерра.

Из теории интегральных уравнений известно, что если ядро есть непрерывная функция в области непрерывная функция на отрезке то интегральное уравнение Вольтерра второго рода

имеет единственное непрерывное решение при любом значении Это решение можно искать в виде

Подставляя этот ряд в уравнение (4) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X, получим:

Если

то

Отсюда, если мы примем за приближенное решение уравнения частичную сумму ряда (50):

то погрешность его может быть оценена следующим образом:

Более грубая, но вместе с тем более простая оценка погрешности следующая: обозначим через произведение и в оценке (54) вынесем общий множитель получим:

Ряд, стоящий в фигурной скобке, мажорируем рядом

Тогда получим следующую оценку:

При этом предполагается, что настолько велико, что

Если в (51) квадратуры не берутся, то для их вычисления можно использовать квадратурные формулы, лучше всего с равноотстоящими абсциссами. Будем, например, использовать обобщенную формулу трапеций. Если отрезок разбить на равных частей и ввести обозначения приближенные значения для обозначить через то будем иметь:

или

Вычислив мы получим приближенные значения решения интегрального уравнения (4) в узлах по формулам

При использовании обобщенной формулы Симпсон разбиваем отрезок на равных частей точками Тогда, применяя формулу Симпсона для вычисления интеграла

будем иметь:

Значения к для нечетных придется находить интерполяцией.

Для приближенного решения уравнения (4) можно применять также метод прямой замены интеграла, входящего в уравнение, конечной суммой по какой-либо квадратурной формуле. Например, при использовании обобщенной формулы трапеции, разбивая отрезок на частей точками будем иметь:

или

откуда

Таким образом, шаг за шагом найдем все значения

Что касается интегральных уравнений Вольтерра первого рода

то при дополнительном предположении, что ядро непрерывно дифференцируемые функции, его можно

свести к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. В самом деле, дифференцируя уравнение (3), будем иметь:

и будет решением интегрального уравнения Вольтерра второго рода

Пример. Найти решение интегрального уравнения

Первый способ. Ищем решение в виде

где

В результате интегрирования получим:

(см. скан)

откуда

Точное решение этого уравнения

Для сравнения приведем значения точного решения и приближенного решения при Имеем:

Второй способ. Будем вычислять значения решения в точках

используя для замены интеграла в уравнении обобщенную формулу трапеций с шагом Таблица значений имеет вид:

(см. скан)

Вычисления дают следующий результат:

(см. скан)

Ниже приведена таблица значений точного решения и погрешность полученного приближенного решения:

(см. скан)

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление