Главная > Математика > Методы вычислений, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Сходимость и устойчивость разностных схем

В §§ 2, 3, 5 мы изложили метод сеток решения некоторых задач для простейших дифференциальных уравнений в частных производных. Сходимость метода доказывалась в каждом отдельном случае своим приемом. В § 5 было введено понятие устойчивости разностной схемы, играющее важную роль в решении задач методом сеток. В настоящем параграфе мы изложим метод сеток в более общем виде, рассмотрим связь сходимости и устойчивости и изложим некоторые методы исследования устойчивости. Эти вопросы обстоятельно освещены в монографии В. С. Рябенького и А. Филиппова «Об устойчивости разностных уравнений», которая и была использована при написании данного параграфа.

1. Разностная аппроксимация дифференциального уравнения и граничных условий.

Рассмотрим в -мерном пространстве область с границей состоящей из нескольких кусков которые могут иметь общие части или даже совпадать между собой.

Пусть в области нужно найти решение дифференциального уравнения

с граничными условиями

где - заданная в функция, функции заданные на некоторые дифференциальные операторы.

В замкнутой области для каждого определим некоторое множество точек, которое назовем сеткой и обозначим через Дифференциальному оператору поставим в соответствие некоторый разностный оператор преобразующий функцию определенную на в функцию определенную на некотором множестве При этом будем предполагать, что какова бы ни была точка области при достаточно малом в любой ее окрестности найдутся точки, принадлежащие Дифференциальному уравнению (1) поставим в соответствие разностное уравнение

где определена на и в точках совпадает с Каждому граничному условию на поставим в соответствие некоторое разностное граничное условие

где оператор определен на некотором множестве из и переводит функцию определенную на в функцию

определенную на множестве функции, определенные на некоторым образом соответствующие функциям Способ этого соответствия зависит от способа переноса граничных условий с на

Будем предполагать, что между функциями выполнены условия согласования, под которыми мы будем понимать такие условия, связывающие в отдельных точках, которые являются необходимыми и достаточными для существования хотя бы одной функции удовлетворяющей условиям (4).

Пусть классы функций, определенных на классы функций, определенных на такие, что при определены при этом Будем предполагать, что в каждом из этих классов определена норма, вообще говоря, своя в каждом классе, обладающая обычными свойствами нормы. Эти нормы обозначим соответственно через

Пусть для функций определенных на определена норма для функций определенных на — норма и для функций определенных на — норма Функции определенные на имеют смысл и на следовательно, для них имеют смысл нормы оператор и т. д. Будем предполагать, что нормы определены так, чтобы для любых функций и сргс имеют место предельные соотношения:

при В этом случае мы будем говорить, что соответствующие нормы согласованы.

Говорят, что разностное уравнение (3) и граничные условия (4) аппроксимируют дифференциальное уравнение (1) и граничные условия (2) на классе функций если для любой функции при имеют место соотношения:

где через обозначен оператор переноса граничных условий с на

Далее, говорят, что порядок разностной аппроксимации равен если для любой функции имеют место

неравенства

где не зависят от

Пример. Рассмотрим уравнение

в области с граничными условиями:

Под сеткой будем понимать совокупность точек Определим операторы:

(см. скан)

Положим, далее,

Условиями согласования здесь будут условия:

которые получаются из следующих соображений. Точка принадлежит а точка принадлежит Следовательно, значения в этих точках можно вычислять различными способами:

откуда

Аналогично получим и два других условия согласования.

За класс примем совокупность функций с непрерывными производными второго порядка в замкнутой области за - совокупность всех непрерывных в функций, а за - совокупность всех непрерывных функций на Нормы в этих классах функций введем следующим образом:

Для сеточных функций нормы введем так:

Так определенные нормы будут согласованы, так как при

Далее, при

Если вместо класса дважды непрерывно дифференцируемых в функций взять класс всех функций, имеющих непрерывные

производные четвертого порядка, то

Таким образом, разностная схема

аппроксимирует в классе дифференциальное уравнение с граничными условиями, а в классе будем иметь аппроксимацию первого порядка.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление