Главная > Математика > Методы вычислений, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Метод Массо численного решения квазилинейного гиперболического уравнения второго порядка.

Рассмотрим теперь квазилинейное дифференциальное уравнение второго порядка гиперболического типа

Для этого уравнения мы получили следующие уравнения характеристик:

Снова предположим, что в двух близких точках 1 и 2 плоскости х, у известны значения т. е. известны точки

Рис. 60. Первая смешанная задача.

Рис. 61. Первая смешанная задача.

Проведем через точку 1 прямую в направлении характеристики 1-го семейства, выходящей из этой точки, а через точку 2 — прямую в направлении характеристики 2-го семейства, выходящей из точки 2. Координаты точки их пересечения удовлетворяют уравнениям:

где — значения вычисленные в точке

Далее, заменяя в дифференциальных соотношениях входящие в них дифференциалы конечными разностями, будем иметь систему уравнений для отыскания и

значения в точке . (Последнее соотношение мы получили, заменив в дифференциальных соотношениях для обеих характеристик дифференциалы конечными разностями, а затем взяв их полусумму.)

Таким образом, решая последовательно системы (46) и (47), мы найдем первое приближение точки 3: Уточнение полученных значений может быть выполнено способами, совершенно аналогичными тем, которые были описаны в п. 3, где было рассмотрено решение системы двух квазилинейных уравнений первого порядка. Решение задач Коши, Гурса и смешанных задач также не будет по существу отличаться от решения соответствующих задач, описанных там, поэтому мы не будем на них останавливаться. Заметим лишь, что при постановке задачи Коши и первой смешанной задачи на кривой, не являющейся характеристикой, мы должны задать функцию и и производную от нее по направлению, не касательному к кривой, несущей начальные значения, так как по этим данным в точках этой кривой могут быть вычислены обе частные производные. Во второй смешанной задаче не на характеристике можно задать функцию и или линейную комбинацию ее частных производных.

Пример. Найти методом характеристик несколько значений решения системы уравнений

удовлетворяющего начальным условиям

Дифференциальные уравнения характеристик этой системы имеют вид:

Для численного решения задачи возьмем на отрезке, несущем начальные данные, шесть равноотстоящих точек. Координаты этих точек и значения в них приведены в таблице:

Для отыскания координат точки лежащий .на пересечении характеристик двух разных семейств, выходящих из точек и значений в этой точке имеем систему уравнений

где

Отсюда получаем следующие расчетные формулы:

Итерации проводим до тех пор, пока будут с заданной точностью равны соответственно

Рис. 62.

Для точки 7 (рис. 62) итерации величин ведут себя следующим образом:

(см. скан)

Ниже приведены окончательные результаты для двух слоев точек, округленные до третьего десятичного знака. В скобках указаны погрешности приближенных значений и т. е. разности значений и и значений точного решения в точках в единицах третьего десятичного разряда.

(см. скан)

(см. скан)

На рис. 62 изображено примерное расположение точек (масштаб по оси х в два раза больше, чем оси

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление