2. Примеры.

Макеты страниц

2. Примеры.

Уравнения характеристик для некоторых систем дифференциальных уравнений газовой динамики. В качестве примеров приведем дифференциальные уравнения характеристик для некоторых систем дифференциальных уравнений газовой динамики, где метод характеристик находит широкое применение.

1. Плоское и осесимметричное сверхзвуковое установившееся течение идеального газа. Случай безвихревого движения. Система дифференциальных уравнений в этом случае имеет вид

где

составляющие безразмерной скорости по направлениям выражающиеся через составляющие действительной скорости по формулам где постоянная

газового потока, скорость звука в покоящемся газе. Для плоского движения для осесимметричного этом случае ось симметрии).

Уравнения характеристик для этой системы будут следующие: уравнения направления характеристик

где корни уравнения

или

При сверхзвуковых скоростях действительны и различны. Вычисляя определители (17), получим:

Отсюда, используя (16), получим следующие дифференциальные соотношения на характеристиках:

Учитывая, что и заменяя из уравнений направлений характеристик, получим следующие дифференциальные уравнения характеристик рассматриваемой системы:

Иногда уравнения характеристик записывают в другой форме, принимая за искомые функции и 9, где

имеет смысл абсолютной величины безразмерной скорости в данной точке, угол наклона направления скорости с осью Если, кроме того, ввести угол (угол Маха) с помощью соотношений

то, выполнив замену искомых функций в уравнениях характеристик, придем к следующему результату:

где

Из этих уравнений следует, что если в точке известно направление скорости 6 и мы отложим по ту и другую сторону от него углы, равные то получим направления характеристик, проходящих через эту точку. Эти направления называют направлениями Маха, а линии, имеющие в каждой точке направление Маха, называют линиями Маха. Таким образом, характеристики совпадают с линиями Маха. Физический смысл их состоит в том, что если в некоторой точке сверхзвукового потока поместить источник малых возмущений, то они будут сказываться только в области, ограниченной линиями Маха, выходящими из этой точки (в осесимметричном пространственном случае это будет конус Маха).

2. Плоское и осесимметричное сверхзвуковое установившееся движение идеального газа. Случай вихревого движения. Система уравнений в этом случае имеет вид

где имеют прежний смысл, энтропия, постоянная величина (удельная теплоемкость газа при постоянном давлении).

Для того чтобы выписать дифференциальные уравнения характеристик, найдем корни уравнения (19) и определители Будем иметь:

или

Далее,

Подставляя их в соотношение (20), получим следующие дифференциальные соотношения на характеристиках:

При имеем:

Окончательно имеем следующие дифференциальные уравнения для характеристик:

Первое семейство характерно тем, что направление характеристики в каждой точке совпадает с направлением скорости потока в этой точке, характеристики первого семейства являются линиями тока; энтропия вдоль них сохраняет постоянное значение. Две другие характеристики, выходящие из данной точки, будут совпадать с линиями Маха.

3. Одномерное неустановившееся течение в трубах. Безвихревое течение. Система дифференциальных уравнений движения идеального газа в этом случае имеет вид

где координата вдоль оси трубы, и — скорость в сечении х трубы в момент времени а — местная скорость звука, площадь поперечного сечения трубы.

Уравнения направлений характеристик имеют вид

где корни уравнения

или

Здесь мы видим, что система будет гиперболической всегда, в то время как в случае установившихся течений она будет гиперболической лишь в сверхзвуковой области.

Определители будут иметь следующие значения: