2. Примеры.
Уравнения характеристик для некоторых систем дифференциальных уравнений газовой динамики. В качестве примеров приведем дифференциальные уравнения характеристик для некоторых систем дифференциальных уравнений газовой динамики, где метод характеристик находит широкое применение.
1. Плоское и осесимметричное сверхзвуковое установившееся течение идеального газа. Случай безвихревого движения. Система дифференциальных уравнений в этом случае имеет вид
где
составляющие безразмерной скорости по направлениям
выражающиеся через составляющие действительной скорости
по формулам
где
постоянная
газового потока,
скорость звука в покоящемся газе. Для плоского движения
для осесимметричного
этом случае
ось симметрии).
Уравнения характеристик для этой системы будут следующие: уравнения направления характеристик
где
корни уравнения
или
При сверхзвуковых скоростях
действительны и различны. Вычисляя определители (17), получим:
Отсюда, используя (16), получим следующие дифференциальные соотношения на характеристиках:
Учитывая, что
и заменяя
из уравнений направлений характеристик, получим следующие дифференциальные уравнения характеристик рассматриваемой системы:
Иногда уравнения характеристик записывают в другой форме, принимая за искомые функции
и 9, где
имеет смысл абсолютной величины безразмерной скорости в данной точке,
угол наклона направления скорости с осью
Если, кроме того, ввести угол
(угол Маха) с помощью соотношений
то, выполнив замену искомых функций в уравнениях характеристик, придем к следующему результату:
где
Из этих уравнений следует, что если в точке
известно направление скорости 6 и мы отложим по ту и другую сторону от него углы, равные
то получим направления характеристик, проходящих через эту точку. Эти направления называют направлениями Маха, а линии, имеющие в каждой точке направление Маха, называют линиями Маха. Таким образом, характеристики совпадают с линиями Маха. Физический смысл их состоит в том, что если в некоторой точке сверхзвукового потока поместить источник малых возмущений, то они будут сказываться только в области, ограниченной линиями Маха, выходящими из этой точки (в осесимметричном пространственном случае это будет конус Маха).
2. Плоское и осесимметричное сверхзвуковое установившееся движение идеального газа. Случай вихревого движения. Система уравнений в этом случае имеет вид
где
имеют прежний смысл,
энтропия,
постоянная величина (удельная теплоемкость газа при постоянном давлении).
Для того чтобы выписать дифференциальные уравнения характеристик, найдем корни уравнения (19) и определители
Будем иметь:
или
Далее,
Подставляя их в соотношение (20), получим следующие дифференциальные соотношения на характеристиках:
При
имеем:
Окончательно имеем следующие дифференциальные уравнения для характеристик:
Первое семейство характерно тем, что направление характеристики в каждой точке совпадает с направлением скорости потока в этой точке,
характеристики первого семейства являются линиями тока; энтропия вдоль них сохраняет постоянное значение. Две другие характеристики, выходящие из данной точки, будут совпадать с линиями Маха.
3. Одномерное неустановившееся течение в трубах. Безвихревое течение. Система дифференциальных уравнений движения идеального газа в этом случае имеет вид
где
координата вдоль оси трубы, и — скорость в сечении х трубы в момент времени
а — местная скорость звука,
площадь поперечного сечения трубы.
Уравнения направлений характеристик имеют вид
где
корни уравнения
или
Здесь мы видим, что система будет гиперболической всегда, в то время как в случае установившихся течений она будет гиперболической лишь в сверхзвуковой области.
Определители
будут иметь следующие значения:
Следовательно, дифференциальные соотношения на характеристиках будут:
или, подставляя
и сокращая на а, будем иметь:
Итак, дифференциальные уравнения характеристик таковы:
4. Одномерное неустановившееся течение в трубах. Вихревое течение. В этом случае уравнения движения имеют вид
где и, а имеют прежний смысл, 5 — энтропия,
постоянная (удельная теплоемкость газа при постоянном объеме). Уравнения направлений характеристик
где
корни уравнения
или
Дифференциальные соотношения на характеристиках получим из уравнения (20):
При
это условие превращается в тождество. Поэтому условие на характеристиках первого семейства получим, используя другое соотношение:
откуда следует, что на характеристиках первого семейства
Окончательно будем иметь следующие уравнения характеристик: