Методы вычислений, Т.2

  

Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, Т.2. М.: ГИФМЛ, 1959. - 620 с.

Во втором томе книги рассмотрены численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, уравнений высших степеней и трансцендентных уравнений, численные методы отыскания собственных значений, приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных и интегральных уравнений.

Книга предназначена в качестве учебного пособия для студентов механико-математических и физико-математических факультетов, специализирующихся по вычислительной математике, и лиц, интересующихся теорией и практикой численных методов



Оглавление

ГЛАВА 6. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
§ 2. Метод исключения
1. Схема Гаусса с выбором главного элемента.
2. Компактная схема Гаусса.
3. Обращение матрицы.
4. Вычисление определителей.
5. Схема Жордана.
6. Схема без обратного хода.
§ 3. Метод квадратного корня
§ 4. Метод ортогонализации
§ 5. Метод сопряженных градиентов
§ 6. Метод разбиения на клетки
§ 7. Линейные операторы. Нормы операторов
1. Конечномерные линейные нормированные пространства.
2. Линейные операторы в конечномерном линейном нормированном пространстве и их связь с матрицами.
3. Сходимость последовательностей матриц и матричных рядов.
§ 8. Разновидности методов последовательных приближений
§ 9. Линейные полношаговые методы первого порядка
2. Метод Ричардсона.
3. Обращение матриц методом последовательных приближений.
§ 10. Линейные одношаговые методы первого порядка
2. Сходимость метода Зейделя.
3. Релаксационный метод.
§ 11. Метод скорейшего спуска
ГЛАВА 7. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 2. Отделение корней
2. Границы расположения корней алгебраического уравнения.
3. Число действительных корней алгебраического уравнения.
4. Отделение действительных корней алгебраического уравнения.
5. Отделение комплексных корней алгебраических уравнений.
§ 3. Метод Лобачевского решения алгебраических уравнений
2. Метод Лобачевского. Случай комплексных корней.
3. Метод Лобачевского. Случай близких или равных корней.
4. Погрешность метода Лобачевского.
5. Видоизменение Лемера метода Лобачевского.
§ 4. Итерационные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений
2. Простейшие итерационные методы: метод секущих и метод Ньютона.
3. Метод Чебышева построения итераций высших порядков.
4. Построение итераций высших порядков с помощью теоремы Кёнига.
5. Метод Эйткена построения итераций высших порядков.
6. Пример.
§ 5. Решение систем уравнений
2. Метод Ньютона.
3. Метод скорейшего спуска.
§ 6. Отыскание корней алгебраических уравнений методом выделения множителей
1. Метод Лина выделения множителей.
2. Метод Фридмана.
3. Метод Хичкока выделения квадратного множителя.
ГЛАВА 8. ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ
§ 2. Метод А. Н. Крылова
2. Отыскание собственных векторов матрицы.
§ 3. Метод Ланцоша
2. Отыскание собственных векторов.
§ 4. Метод Данилевского
1. Видоизменение метода Данилевского.
§ 5. Обзор других способов получения характеристического многочлена
§ 6. Определение границ собственных значений
§ 7. Итерационные методы отыскания собственных значений и собственных векторов матриц
2. Отыскание других собственных значений и соответствующих им собственных векторов для симметрических матриц.
3. Отыскание собственных значений и собственных векторов несимметрических матриц, имеющих простую структуру.
4. Некоторые замечания об отыскании собственных значений и собственных векторов матриц общей структуры.
§ 8. Ускорение сходимости итерационных процессов при решении задач линейной алгебры
2. Метод М. К. Гавурина.
3. Метод Л. А. Люстерника.
4. «дельта квадрат»-процесс Эйткена.
5. Улучшение сходимости итерационных процессов для отыскания собственных значений матриц.
§ 9. Неустранимая погрешность при численном решении систем линейных алгебраических уравнений
ГЛАВА 9. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 2. Метод С. А. Чаплыгина
2. Способ Чаплыгина построения улучшенных приближений.
3. Второй способ построения улучшенных приближений.
4. Метод Чаплыгина приближенного решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
§ 3. Метод малого параметра
§ 4. Метод Рунге — Кутта
2. Метод Рунге — Кутта решения систем дифференциальных уравнений первого порядка.
3. Метод Рунге-Кутта решения уравнений второго порядка.
§ 5. Разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
1. Некоторые экстраполяционные формулы для интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка.
2. Примеры интерполяционных формул.
3. Метод неопределенных коэффициентов вывода разностных формул.
4. Метод Крылова отыскания начальных значений решения.
5. Примеры.
§ 6. Разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков
§ 7. Оценка погрешности, сходимость и устойчивость разностных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений
2. Разностное уравнение для погрешности приближенного решения.
3. Оценки погрешности решений, получаемых по формулам Адамса.
4. Устойчивость разностных методов решения дифференциальных уравнений.
5. Оценка погрешности и сходимость устойчивых разностных методов решения дифференциальных уравнений.
§ 8. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей
2. Метод конечных разностей решения краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка.
§ 9. Метод прогонки
§ 10. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений вариационными методами
1. Вариационные методы решения операторных уравнений в гильбертовом пространстве.
2. Метод Ритца решения вариационных задач.
3. Понятие о методе Галеркина.
ГЛАВА 10. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 2. Метод сеток решения краевых задач для дифференциальных уравнений эллиптического типа
2. Аппроксимация дифференциальных уравнений разностными.
3. Аппроксимация граничных условий.
4. Разрешимость разностных уравнений и способы их решения.
5. Оценка погрешности и сходимость метода сеток.
§ 3. Метод сеток решения линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа
1. Метод сеток для решения задачи Коши.
2. Оценка погрешности и сходимость метода сеток для неоднородного волнового уравнения.
3. Метод сеток решения смешанной задачи.
4. Другие разностные схемы.
§ 4. Метод характеристик численного решения гиперболических систем квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных
2. Примеры.
3. Уравнения характеристик квазилинейного гиперболического дифференциального уравнения второго порядка.
4. Численное решение квазилинейной гиперболической системы двух дифференциальных уравнений первого порядка методом Массо.
5. Численное решение гиперболической системы трех квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Массо.
6. Метод Массо численного решения квазилинейного гиперболического уравнения второго порядка.
7. Основные задачи, встречающиеся при исследовании плоского безвихревого сверхзвукового установившегося течения идеального газа.
§ 5. Метод сеток решения линейных дифференциальных уравнений параболического типа
2. Метод сеток для решения смешанных задач. Понятие устойчивости разностных схем.
§ 6. Метод прогонки решения краевых задач для уравнений в частных производных
2. Уравнение Пуассона.
§ 7. Сходимость и устойчивость разностных схем
2. Понятие корректности и устойчивости разностной схемы.
3. Связь сходимости с корректностью разностной схемы.
4. Некоторые приемы исследования устойчивости разностных схем.
5. Некоторые общие замечания.
§ 8. Метод прямых решения граничных задач для дифференциальных уравнений в частных производных
2. Метод прямых решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
3. Метод прямых решения смешанной задачи для уравнения колебаний струны.
4. Метод прямых решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности.
§ 9. Вариационные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений математической физики
2. Метод Ритца приближенного решения краевых задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка эллиптического типа.
3. Некоторые другие вариационные методы.
4. Метод Ритца решения задачи о собственных значениях.
5. Метод Галеркина решения краевых задач.
§ 10. Приближенные методы решения интегральных уравнений
2. Решение интегральных уравнений Фредгольма второго рода методом замены ядра на вырожденное.
3. Метод моментов.
4. Метод наименьших квадратов.
5. Метод последовательных приближений.
6. Приближенное решение уравнений Вольтерра.