Главная > Математика > Методы вычислений, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Метод Л. А. Люстерника и В. А. Диткина.

Рассмотрим еще один путь получения формул для приближенного вычисления кратных интегралов. Пусть мы хотим получить формулу вида:

где коэффициенты и точки не зависят от выбора функции Предполагаем, что можно разложить по формуле Маклорена во всей области :

Последнее выражение можно записать в виде

где операторы частного дифференцирования.

Интегрируя (43) по области О, получим некоторое выражение, зависящее от частных производных функции в точке Подставляя в правую часть (42) правые части (43) при соответствующих значениях также получим некоторое выражение, зависящее от производных функции в точке и, кроме того, от Потребуем, чтобы коэффициенты при одинаковых производных порядка, меньшего или равного в правой и левой частях совпадали. Это эквивалентно тому, что формула (42) дает точные значения для интеграла, если под знаком интеграла стоит произвольный многочлен степени не выше Естественно условиться считать ту формулу более точной, для которой больше. Наше требование можно сформулировать иначе, а именно можно искать такие формулы (42), для которых разложение

по степеням параметров должно начинаться с членов размерности не менее Последнее следует из представления (44). Такой прием и был предложен чл.-корр. АН СССР, проф. Л. А. Люстерником и проф. В. А. Диткиным.

Условие (45) дает некоторые уравнения, связывающие коэффициенты и точки уравнения можно было бы получить и методом неопределенных коэффициентов. Мы не будем выписывать их здесь для общего случая, а ограничимся рассмотрением одного примера.

Пусть область будет квадрат со сторонами, равными 2 и параллельными осям координат. Центр квадрата пусть находится в начале координат. При этом

и

Таким образом, уравнения, связывающие и в нашем случае будут таковы:

Фиксируя и подбирая значения и удовлетворяющие соответствующей системе, мы будем получать формулы приближенного интегрирования.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление