Главная > Математика > Методы вычислений, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Формула Лапласа и другие формулы.

Если нам известны значения для х, выходящих за пределы отрезка интегрирования, то можно получить еще ряд формул. Так, если задана в точках то для каждой из точек можно написать формулу Ньютона для интерполирования вперед, доходящую до разностей порядка Интегрируя каждую из них в пределах изменения от до 1 и складывая, получим:

где

Это — формула Лапласа.

Можно брать и формулы центральных разностей. Например, интегрирование интерполяционной формулы Бесселя по в пределах от до 1 даст

Коэффициентами при разностях нечетного порядка будут интегралы

Произведем замену переменных, положив Тогда числитель под знаком интеграла примет вид:

а пределы интегрирования перейдут в Таким образом, эти интегралы обратятся в нуль. Интегралы, являющиеся коэффициентами при разностях четного порядка, имеют вид

Обозначим их через Тогда

Сложив такие интегралы, взятые по отрезкам

получим:

Но

Отсюда

Найдем вид Остаточный член формулы Бесселя, если последняя используемая разность имеет нечетный порядок выглядит так:

Следовательно, в этом случае

Коэффициенты имеют следующие значения:

Интегрируя интерполяционную формулу Стирлинга, получим:

Обозначая

последнее выражение можно записать в виде

Складывая таких выражений, найдем:

Коэффициенты имеют следующие значения:

И в этом случае нетрудно написать остаточный член. Он будет равен

Все последние формулы используют значения функции для х, лежащих вне отрезка интегрирования. Их можно использовать как для интегрирования, так и для суммирования.

Можно было бы значительно расширить набор такого рода формул численного интегрирования. Некоторые новые формулы будут получены в главе 9, посвященной численному интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. Сам читатель сможет теперь без труда получать нужные ему для тех или иных целей формулы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление