Главная > Математика > Методы вычислений, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Сходимость квадратурных процессов

Формулы численного интегрирования, которые мы рассматривали, имели следующий вид:

Мы получали их путем замены подынтегрального выражения интерполяционным многочленом Лагранжа. Мыслимы и другие способы замены. В связи с этим рассмотрим следующий вопрос. Функционалу

ставится в соответствие последовательность функционалов

где выбираются из некоторой бесконечной треугольной матрицы:

а из другой заданной бесконечной треугольной матрицы:

Предполагается, что все принадлежат отрезку При каких условиях, наложенных на с и для любой непрерывной на функции будет иметь место

Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой:

Теорема. Для того чтобы при для любой непрерывной на функции необходимо и достаточно, чтобы это имело место для любого многочлена и чтобы для любого п. 1

Докажем сначала достаточность этих условий. При этом мы будем ссылаться на следующую теорему Вейерштрасса:

Для всякой непрерывной на функции и для всякого можно найти такой многочлен что при любом

Доказательство этой теоремы мы приведем в следующей главе. Рассмотрим разность

В силу теоремы Вейерштрасса можно найти такой многочлен что

Пусть в предыдущем равенстве и будет таким многочленом. Тогда абсолютная величина первого члена правой части не может превышать В силу первого условия доказываемой теоремы

второе слагаемое в (6) при достаточно большом может быть сделано меньше по абсолютной величине. Далее,

Таким образом,

Отсюда получаем:

т. е. левая часть может быть сделана сколь угодно малой, что и доказывает достаточность условий.

Необходимость первого условия очевидна, так как многочлены являются непрерывными функциями. Поэтому нужно доказать только необходимость второго условия. Доказательство будем вести от противного. Пусть не ограничены. Для каждого построим функцию обладающую следующими свойствами:

1. равно если и равно —1, если

— непрерывная функция;

Очевидно,

Обозначим для сокращения записей последнее выражение через

Возьмем некоторую из построенных нами функций Для нее должно иметь место

Но Следовательно,

и найдется такое что при будет

(здесь е — основание натуральных логарифмов). Далее, найдется такое что Рассмотрим функцию

Она непрерывна. Следовательно,

Но

Поэтому найдется такое что при будет

Найдем такое что продолжим наше построение дальше.

Пусть мы уже нашли Тогда находим такое, что и строим функцию

Она непрерывна. Следовательно,

Но

Находим такое, что при

и продолжим построение дальше. Таким образом, мы получим ряд

Этот ряд будет равномерно сходиться, и следовательно, его сумма непрерывной функцией. Обозначим ее

Возьмем любое натуральное число и представим в виде

При этом

Оценим каждое слагаемое в отдельности. Так как

Далее,

Таким образом,

Функционал от среднего члена будет равен

Сопоставляя соотношения (24), (25), (26), (27), получим:

Но следовательно,

а последнее выражение неограниченно возрастает с возрастанием Поэтому не может стремиться к Мы пришли к противоречию. Таким образом, необходимость условий доказана.

При доказательстве теоремы мы считали коэффициенты совершенно произвольными. В рассмотренных ранее случаях эти коэффициенты получались путем интегрирования интерполяционных многочленов. Такой процесс будем называть интерполяционно-квадратурным.

Для интерполяционно-квадратурных процессов сходимость наверняка имеет место для любого многочлена и первое условие теоремы можно опустить. Далее, беря получим:

Поэтому, если все положительны, то и второе условие теоремы будет выполнено. Такой случай как раз имел место в формулах Гаусса. Поэтому квадратурный процесс по формулам Гаусса всегда сходится.

При изучении формул Ньютона-Котеса мы видели, что у них имеются отрицательные коэффициенты. Можно показать, что для формул Ньютона-Котеса условие не выполнено.

О сходимости формул Чебышева при вопрос ставить нельзя, так как при формул Чебышева не существует.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление