Главная > Математика > Методы вычислений, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Формулы численного дифференцирования для равноотстоящих узлов.

Если узлы интерполирования расположены через равные промежутки, то удобнее использовать соответствующие интерполяционные формулы. Так, например, взяв интерполяционную формулу Ньютона для интерполирования вперед

в результате последовательного дифференцирования получим:

В частности, при будем иметь:

Если использовать значок для разностей, то последние формулы будут иметь следующий, легко запоминающийся операторно-символический вид:

Здесь предполагается, что формальное разложение доведенное до постоянных разностей, формально возводится в степень как многочлен. Дадим операторный вывод этой формулы. Если оператор обозначить буквой то формула Тейлора

может быть записана так:

или

Отсюда

Беря логарифмы от обеих частей равенства, получим:

или

Получили как раз то выражение, которое было дано выше.

Проверим наши формулы на примере многочлена, для которого они должны давать точные значения производных.

Пример. Найти методом численного дифференцирования производные первых трех порядков для многочлена в точке

Составляем таблицу разностей:

(см. скан)

По нашим формулам получаем:

Если использовать другие формулы интерполирования, то можно получить другие формулы численного дифференцирования. Возьмем, например, формулу Стирлинга

Последовательные производные будут иметь вид

В частности, при

Если взять формулу Бесселя

то получится:

и при

Мы уже получили выражение оператора дифференцирования через операторы Найдем теперь выражение этого оператора через другие разностные операторы. Так как

то

Далее,

Отсюда

и

Неудобство этой формулы состоит в том, что производная в точке х выражается через значения в точках получить выражение производной через значения функции в точках заметим, что формально удовлетворяет дифференциальному уравнению

Так как - нечетная функция 8, то можно пытаться искать решение этого дифференциального уравнения в виде

Подстановкой в уравнение найдем:

Далее,

Отсюда

По индукции показывается, что

Таким образом, можно последовательно найти

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление