Главная > Математика > Методы вычислений, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Обобщенная интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями.

Перейдем теперь к обобщению интерполяционной формулы Ньютона для неравных промежутков на случай кратных узлов. Пусть нам поставлены такие же интерполяционные требования, как в п. 1 (условия (2)), причем являются значениями некоторой функции определенной и непрерывной на отрезке в узлах расположенных на этом отрезке вместе со значением является значением производной от в узле все нужные производные предполагаются непрерывными. Будем рассматривать на наряду с узлами еще узлы выбранные так, что среди всех узлов нет равных.

Тогда

Перейдем в этом равенстве к пределу при При этом получится:

Первые членов и дадут нам выражение для интерполяционного многочлена, а последний член будет являться остаточным членом. Покажем теперь, что полученный интерполяционный многочлен будет удовлетворять поставленным условиям. В связи с этим мы его будем обозначать через Действительно, при что видно из самой записи многочлена. С другой стороны, до перехода к пределу мы могли бы взять за начальную точку не а любую другую из При этом в силу единственности интерполяционного многочлена Лагранжа мы получили бы тот же самый многочлен, только лишь записанный в другой форме. Следовательно, и предел этого многочлена будет тот же самый. Но в этом случае начальные члены его будут иметь вид:

и следовательно, он удовлетворяет интерполяционным условиям в точке Так как этот многочлен тождественен с то и удовлетворяет этим условиям. Итак,

раз а, раз раз

Ранее мы получили другое выражение для остаточного члена. Сравнение этих видов остаточных членов дает

Применим полученную нами обобщенную формулу Ньютона для решения примера, указанного на стр. 166. В этом случае

Как и следовало ожидать, получилось то же самое, что и раньше.

Способ Эйткена в той форме, как он был описан у нас ранее, также может быть применен для интерполирования с кратными узлами.

В заключение этого параграфа получим выражения разделенных разностей с повторяющимися значениями аргумента в виде линейных комбинаций значений функции и ее производных. Для этого сравним коэффициенты при в обобщенной формуле Ньютона и интерполяционной формуле Эрмита. Сравнение дает:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление